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Il quinto postulato di Euclide

La geometria euclidea, con la sua struttura deduttiva, aveva rappresentato per secoli il modello del rigore scientifico. Essa si basava su un ristretto numero di postulati, assunti come veri in modo evidente, dai quali venivano dedotte, dimostrate, tutte le altre proposizioni. Tra questi principi, il quinto postulato appariva tuttavia meno evidente degli altri. Esso afferma che, per un punto esterno a una retta, passa una e una sola parallela alla retta data. Consapevoli del carattere non intuitivo di questo postulato, già i matematici tardo-antichi avevano cercato di trasformarlo in un teorema, fornendone cioè una dimostrazione.

Le geometrie iperbolica ed ellittica


Nel XIX secolo matematici come Gauss, Bolyai, Lobacewski e Riemann sostituirono al quinto postulato dei postulati non euclidei: i primi assunsero che per un punto esterno a una retta passano più parallele alla retta data (geometria iperbolica); Riemann affermò invece che non ne passa alcuna (geometria ellittica). Con l'intento di fondare una geometria alternativa a quella classica di Euclide, vennero così create le geo-metrie non euclidee, in cui venivano dimostrate pro-posizioni apparentemente strane, contro intuitive e a cui fu, tuttavia, ben presto riconosciuta pari dignità scientifica rispetto alla geometria euclidea.

Sulla loro interpretazione si accese un vivace dibattito filosofico: si trattava di diverse ipotesi sulla struttura dello spazio reale? E in questo caso era possibile decidere quale fosse vera e in che modo? Oppure si doveva parlare di convenzioni teoriche che descrivevano in modo diverso una stessa realtà? Quale che fosse la soluzione a questi problemi, la geometria non poteva più essere considerata una scienza apodittica, evidente: la certezza millenaria nell'unicità e nell'assolutezza dello spazio era stata ormai messa in discussione. Esclusa l'evidenza intuitiva, l'unica garanzia della legittimità scientifica dei vari sistemi geometrici era rappresentata dalla correttezza logica delle dimostrazioni, mediante le quali i teoremi venivano dedotti dai postulati.

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