Concetti Chiave
- Il quinto postulato di Euclide, meno intuitivo degli altri, afferma l'esistenza di una sola parallela a una retta data da un punto esterno.
- Nel XIX secolo, matematici come Gauss e Riemann crearono geometrie non euclidee sostituendo il quinto postulato con alternative iperboliche ed ellittiche.
- La geometria iperbolica sostiene che passano più parallele da un punto esterno, mentre la geometria ellittica nega l'esistenza di parallele.
- Le geometrie non euclidee, con proposizioni contro intuitive, furono riconosciute con pari dignità scientifica rispetto a quella euclidea.
- Il dibattito filosofico sulle geometrie non euclidee mise in discussione l'idea di una scienza geometrica apodittica e assoluta.
Indice
Il rigore della geometria euclidea
La geometria euclidea, con la sua struttura deduttiva, aveva rappresentato per secoli il modello del rigore scientifico. Essa si basava su un ristretto numero di postulati, assunti come veri in modo evidente, dai quali venivano dedotte, dimostrate, tutte le altre proposizioni. Tra questi principi, il quinto postulato appariva tuttavia meno evidente degli altri. Esso afferma che, per un punto esterno a una retta, passa una e una sola parallela alla retta data. Consapevoli del carattere non intuitivo di questo postulato, già i matematici tardo-antichi avevano cercato di trasformarlo in un teorema, fornendone cioè una dimostrazione.
L'evoluzione delle geometrie non euclidee
Nel XIX secolo matematici come Gauss, Bolyai, Lobacewski e Riemann sostituirono al quinto postulato dei postulati non euclidei: i primi assunsero che per un punto esterno a una retta passano più parallele alla retta data (geometria iperbolica); Riemann affermò invece che non ne passa alcuna (geometria ellittica). Con l'intento di fondare una geometria alternativa a quella classica di Euclide, vennero così create le geo-metrie non euclidee, in cui venivano dimostrate pro-posizioni apparentemente strane, contro intuitive e a cui fu, tuttavia, ben presto riconosciuta pari dignità scientifica rispetto alla geometria euclidea.
Il dibattito filosofico sulla geometria
Sulla loro interpretazione si accese un vivace dibattito filosofico: si trattava di diverse ipotesi sulla struttura dello spazio reale? E in questo caso era possibile decidere quale fosse vera e in che modo? Oppure si doveva parlare di convenzioni teoriche che descrivevano in modo diverso una stessa realtà? Quale che fosse la soluzione a questi problemi, la geometria non poteva più essere considerata una scienza apodittica, evidente: la certezza millenaria nell'unicità e nell'assolutezza dello spazio era stata ormai messa in discussione. Esclusa l'evidenza intuitiva, l'unica garanzia della legittimità scientifica dei vari sistemi geometrici era rappresentata dalla correttezza logica delle dimostrazioni, mediante le quali i teoremi venivano dedotti dai postulati.
Domande da interrogazione
- Qual è il quinto postulato di Euclide e perché è considerato meno evidente degli altri?
- Quali sono le geometrie non euclidee e chi le ha sviluppate?
- Quali implicazioni filosofiche hanno avuto le geometrie non euclidee?
Il quinto postulato di Euclide afferma che, per un punto esterno a una retta, passa una e una sola parallela alla retta data. È considerato meno evidente perché non è intuitivo come gli altri postulati, portando i matematici a cercare di dimostrarlo come un teorema.
Le geometrie non euclidee includono la geometria iperbolica, sviluppata da Gauss, Bolyai e Lobacewski, dove passano più parallele per un punto esterno a una retta, e la geometria ellittica di Riemann, dove non passa alcuna parallela. Queste geometrie offrono alternative al quinto postulato di Euclide.
Le geometrie non euclidee hanno sollevato dibattiti filosofici sulla natura dello spazio reale, mettendo in discussione l'unicità e l'assolutezza dello spazio. Si è discusso se fossero diverse ipotesi sulla struttura dello spazio o convenzioni teoriche, evidenziando che la geometria non poteva più essere considerata una scienza apodittica.
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