Concetti Chiave
- Jules Henri Poincaré considera la matematica un'attività costruttiva, rifiutando la sua fondazione su basi logiche, con la logica vista come strumento di comunicazione dei risultati.
- Luitzen Egbertus Brouwer sostiene che la matematica precede la logica, basandosi sull'intuizione del tempo continuo, con gli enti matematici come costruzioni mentali.
- La prospettiva formalista di David Hilbert affronta i fondamenti della matematica, considerando la logica non più fondamentale ma parallela alla matematica.
- Hilbert enfatizza la coerenza dei sistemi formali, proponendo che le teorie matematiche siano valide se dimostrano la loro non contraddittorietà.
- Il formalismo di Hilbert porta al concetto di metalogica, che analizza le proposizioni all'interno di un sistema formale.
La visione di Poincaré e Brouwer
In Francia il matematico e fisico Jules Henri Poincaré (1854-1912) rifiuta ogni possibile fondazione della matematica su basi logiche: la matematica è un'attività costruttiva, mentre la logica ha solo la funzione secondaria di permettere la comunicazione dei risultati del pensiero.
Anche per il matematico olandese Luitzen Egbertus Brouwer (1881-1966) la matematica viene prima della logica, che si limita a descriverne le costruzioni. Le antinomie russelliane, dunque, la cui natura è logico-linguistica, non mettono affatto in crisi la matematica reale. Quest'ultima non si basa sulla logica, ma sull'intuizione dello scorrere continuo del tempo. Questa intuizione rende possibile la successiva elaborazione degli enti matematici, che non hanno una realtà esterna, ma sono costruzioni mentali.
La prospettiva formalista di Hilbert
Diversa sia dall'impostazione logicista sia da quella intuizionista è la prospettiva formalista, attraverso la quale David Hilbert (1862-1943) affrontò il problema dei fondamenti della matematica. La logica, che fa uso di nozioni aritmetiche come quelle di insieme e di numero, non può essere considerata più fondamentale della matematica, ma deve es-sere sviluppata parallelamente a essa. Le diverse teorie matematiche, come la teoria degli insiemi, la geometria elementare o l'aritmetica, sono strutture assiomatico-deduttive. Ciascuna di esse risulta fondata qualora se ne provi la non contraddittorietà. Hilbert con-centra quindi la sua attenzione sulla coerenza di un sistema formale. La sua scuola — il formalismo — porterà in primo piano la cosiddetta «metalogica», ossia il complesso di enunciati che dicono qualcosa sulle proposizioni di un sistema formale.
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