Z trasformata

MATEMATICA PER I SISTEMI

Trasformata Z

Sequenze discrete, equazioni alle differenze e sistemi digitali

X(z) = Σ x[n] z^(−n)

Cosa troverai in queste 10 pagine

Definizione e regione di convergenza

1 Coppie fondamentali e proprietà

2 Inversa, poli e stabilità

3 Equazioni alle differenze ed esercizi

4

Percorso: concetti → formule → metodi → esercizi risolti.

Dispensa autonoma e stampabile • formule nella convenzione dichiarata 01 / 10

TRASFORMATA Z DISPENSA DI STUDIO • TEORIA DEI SISTEMI

Il mondo dei segnali discreti

La trasformata Z è l’analogo discreto della trasformata di Laplace. Descrive sequenze x[n] indicizzate da

un numero intero n tramite una funzione della variabile complessa z.

Definizione bilaterale e unilaterale

n=−∞+∞ −n

X(z) = Σ x[n] z −n

X₊(z) = Σ da n=0 a +∞ x[n] z

La forma bilaterale richiede la regione di convergenza (ROC). L’unilaterale è utile per risolvere equazioni

alle differenze con valori iniziali.

Segnali elementari

• δ[n] è l’impulso discreto: vale 1 per n = 0 e 0 altrove.

• u[n] è il gradino discreto: vale 1 per n ≥ 0 e 0 per n < 0.

• aⁿu[n] è una sequenza esponenziale destra; per |a| < 1 decade.

Perché si usa

Nel dominio z, una traslazione nel tempo diventa una moltiplicazione per z⁻¹, e una convoluzione

diventa prodotto. Le equazioni alle differenze si possono quindi risolvere con algebra e fratti semplici.

TRE VARIABILI DA DISTINGUERE

t è il tempo continuo; n è l’indice discreto; s e z sono variabili complesse usate da trasformate differenti.

Definizioni, esempi ed esercizi | livello universitario 2 / 10

TRASFORMATA Z DISPENSA DI STUDIO • TEORIA DEI SISTEMI

Regione di convergenza (ROC)

La ROC di una trasformata Z bilaterale è l’insieme dei valori di z per cui la serie converge assolutamente.

Per trasformate razionali assume in generale la forma di un anello centrato nell’origine.

Esponenziale destro

x[n] = aⁿu[n] ⇒ X(z) = 1/(1−az⁻¹) = z/(z−a)

ROC: |z| > |a|

La serie geometrica converge quando |az⁻¹| < 1, cioè |z| > |a|.

Esponenziale sinistro: stessa frazione

x[n] = −aⁿu[−n−1] ⇒ X(z) = z/(z−a)

ROC: |z| < |a|

La formula algebrica è la stessa ma il segnale è diverso; occorre dunque specificare sempre la ROC.

Regole da memorizzare

• Segnale destro: ROC esterna al polo di modulo maggiore.

• Segnale sinistro: ROC interna al polo di modulo minore.

• Segnale a due lati: ROC a corona circolare fra i poli.

• La ROC non contiene poli e, per un siste