Laplace

MATEMATICA PER I SISTEMI

Trasformata di Laplace

Dal dominio del tempo al piano complesso s

X(s) = ∫ x(t) e^(−st) dt

Cosa troverai in queste 10 pagine

Definizione e regione di convergenza

1 Coppie notevoli e proprietà

2 Antitrasformata, poli e stabilità

3 Equazioni differenziali ed esercizi

4

Percorso: concetti → formule → metodi → esercizi risolti.

Dispensa autonoma e stampabile • formule nella convenzione dichiarata 01 / 10

TRASFORMATA DI LAPLACE DISPENSA DI STUDIO • TEORIA DEI SISTEMI

Le idee fondamentali

La trasformata di Laplace rappresenta un segnale temporale x(t) con una funzione della variabile

complessa s = σ + jω. È uno strumento centrale per risolvere equazioni differenziali e studiare sistemi

lineari tempo-invarianti (LTI).

Le due definizioni

−∞+∞ −st

Bilaterale: X(s) = ∫ x(t) e dt

0⁻+∞ −st

Unilaterale: X₊(s) = ∫ x(t) e dt

La bilaterale descrive anche segnali presenti prima di t = 0. L’unilaterale è particolarmente utile per

risolvere problemi con condizioni iniziali. Qui u(t) indica il gradino unitario e δ(t) l’impulso di Dirac.

Perché funziona?

• La derivata temporale si traduce in una moltiplicazione per s, con termini iniziali nella forma unilaterale.

• La convoluzione nel tempo diventa prodotto nel dominio s.

• Le radici del denominatore (poli) aiutano a capire transitori e stabilità.

INTUIZIONE

Il fattore e^(−σt) pesa la crescita o il decadimento; e^(−jωt) analizza l’oscillazione. Laplace unisce quindi

attenuazione e frequenza.

Notazione da ricordare

x(t) ↔ X(s) con s = σ + jω e j² = −1

Una formula algebrica per X(s) non basta sempre a identificare il segnale: nella trasformata bilaterale va

specificata anche la regione di convergenza (ROC).

Definizioni, esempi ed esercizi | livello universitario 2 / 10

TRASFORMATA DI LAPLACE DISPENSA DI STUDIO • TEORIA DEI SISTEMI

Regione di convergenza (ROC)

La ROC è l’insieme dei valori di s per i quali l’integrale di Laplace converge. Nel caso di funzioni razionali, è

in genere una regione verticale del piano s e non contiene poli.

Esempio: esponenziale causale

−at

x(t) = e u(t) ⇒ X(s) = 1/(s+a)

ROC: Re(s) > −a (per a reale)

Infatti ∫₀^∞ e^(−(s+a)t)dt converge quando Re(s+a) > 0.

Un’altra sequenza temporale, stessa espressione

−at

x(t) = −e u(−t) ⇒ X(s) = 1/(s+a)

ROC: Re(s) < −a

Le due espressioni X(s) sono identiche, ma le ROC diverse distinguono un segnale destro (causale) da uno

sinistro.

Regole pratiche per le trasformate razionali

• Segnale destro: la ROC è a destra del polo più a destra.

• Segnale sinistro: la ROC è a sinistra del polo più a sinistra.

• Segnale a due lati: la ROC può essere una striscia fra due poli.

• Per passare alla trasformata di Fourier, l’asse j&o