Furier

MATEMATICA PER I SISTEMI

Trasformata di Fourier

Frequenze, spettri, filtri e campionamento

X(ω) = ∫ x(t) e^(−jωt) dt

Cosa troverai in queste 10 pagine

Definizione e coppie fondamentali

1 Proprietà e interpretazione degli spettri

2 Sistemi LTI e risposta in frequenza

3 Campionamento, aliasing ed esercizi

4

Percorso: concetti → formule → metodi → esercizi risolti.

Dispensa autonoma e stampabile • formule nella convenzione dichiarata 01 / 10

TRASFORMATA DI FOURIER DISPENSA DI STUDIO • TEORIA DEI SISTEMI

Che cosa misura Fourier

La trasformata di Fourier scompone un segnale nei suoi contributi alle diverse frequenze. Per ogni

pulsazione ω, la funzione complessa X(ω) descrive ampiezza e fase.

Convenzione usata nella dispensa

−∞+∞ −jωt

X(ω) = ∫ x(t)e dt

−∞+∞ jωt

x(t) = (1/2π)∫ X(ω)e dω

Qui ω è la pulsazione in rad/s, mentre f = ω/(2π) è la frequenza in hertz. Alcuni libri usano f al posto di ω:

cambiano i fattori 2π nelle formule.

Significato fisico

• Un picco dello spettro indica una componente importante a quella pulsazione.

• Il modulo |X(ω)| misura la distribuzione delle ampiezze.

• La fase arg X(ω) descrive gli sfasamenti tra componenti.

Fourier e Laplace

Quando la ROC della trasformata bilaterale di Laplace comprende l’asse immaginario, in condizioni adatte

s=jω

si ha X(ω) = X(s)| . La trasformata di Fourier può essere definita anche in senso distribuzionale per

segnali periodici e impulsi.

PRIMA DISTINZIONE

Un segnale periodico ideale ha uno spettro a righe (impulsi di Dirac); un impulso breve non periodico tende

invece ad avere uno spettro distribuito su molte frequenze.

Definizioni, esempi ed esercizi | livello universitario 2 / 10

TRASFORMATA DI FOURIER DISPENSA DI STUDIO • TEORIA DEI SISTEMI

Coppie fondamentali

Usiamo la convenzione in pulsazione ω. Indichiamo con sinc(v) = sin(v)/v la sinc non normalizzata, con

sinc(0) = 1.

Segnale x(t) Trasformata X(ω)

δ(t) 1

1 2πδ(ω)

e^(−a|t|), a > 0 2a/(a²+ω²)

e^(−t²/(2σ²)), σ > 0 σ√(2π)e^(−σ²ω²/2)

rettangolo unitario, |t| < T/2 T sinc(ωT/2)

cos(ω₀t) π[δ(ω−ω₀)+δ(ω+ω₀)]

sin(ω₀t) (π/j)[δ(ω−ω₀)−δ(ω+ω₀)]

Esempio con l’esponenziale pari

−2|t|

x(t) = e ⇒ X(ω) = 4/(4+ω²)

La trasformata è reale, positiva e pari: prevalgono le frequenze vicino a ω = 0, mentre le alte frequenze

sono attenuate.

Rettangolo e funzione sinc

Un impulso rettangolare nel tempo corrisponde a uno spettro sinc, con lobi laterali che cambiano segno.

Più il rettangolo è stretto nel tempo, più è largo il suo spettro.

DISTRIBUZIONI

δ(ω−ω₀) non è una funzione ordinaria: ra