Elementi di controlo digitale

Università Politecnica delle Marche

Facoltà di ingegneria

Elementi di controllo digitale

Luca A. Pettinari

Scritto e redatto con L TEX

Civitanova Marche, lí 1 maggio 2017

Indice

• 1 Segnali e sistemi a tempo discreto 1
• 1.1 Segnali a tempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
• Z 1.1.1 Trasformata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
• Z 1.1.2 Antitrasformata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
• 1.1.3 Modulazione impulsiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
• 1.1.4 Teorema del campionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
• 1.1.5 Filtro anti-aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
• 1.2 Sistemi a tempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
• 1.2.1 Stabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
• 1.2.2 Criteri di stabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
• 1.2.3 Risposta in frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
• 2 Sintesi del controllore 37
• 2.1 Interconnessione continuo/discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
• 2.2 Specifiche di controllo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
• 2.2.1 Specifiche di comportamento a regime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
• 2.2.2 Specifiche sul transitorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
• 2.3 Predittore di Smith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
• 2.4 Sintesi per emulazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
• 2.4.1 Integrazione numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
• 2.4.2 Sintesi col margine di fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
• 2.4.3 Predistorsione in frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
• 2.4.4 Scelta del periodo di campionamento del controllore . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
• 2.4.5 Esempio di sintesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
• 2.5 Sintesi diretta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
• 2.5.1 Mappamento della regione di accettabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
• 2.5.2 Procedura di sintesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
• 2.5.3 Controllo deadbeat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
• 2.5.4 Esempi di sintesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

i

Capitolo 1
Segnali e sistemi a tempo discreto

Con l’avvento della logica binaria e la conseguente diffusione di tutte le innovazioni tecnologiche da essa derivate, si é riscontrata con successo la possibilità di elaborare, processare e memorizzare i segnali provenienti dal mondo esterno, i quali vengono codificati seguendo la necessità di essere intellegibili e manipolabili agevolmente dalle macchine che li elaborano.

Tale rivoluzione ha letteralmente cambiato il volto a pressoché tutte le aree attinenti all’ingegneria dell’informazione, tra cui l’informatica, l’elettronica, le telecomunicazioni e, non ultima, la teoria dei sistemi e del controllo, la quale trova nella potenza computazionale dei processori digitali lo strumento ideale per implementare i complessi algoritmi di controllo, che, in altro modo rimarrebbero a volte puro cavillo teorico.

D’altronde com’é naturale, l’applicazione dei controlli automatici ad un contesto "discreto" ha i suoi pregi e difetti: obiettivo di questa materia é approfondire entrambi questi aspetti.

Lo sviluppo del controllo digitale é abbastanza recente e, dal punto di vista storico, é stato motivato dalla ricerca di sistemi di controllo adatti alla regolazione di impianti industriali complessi, espandendosi a pressoché ogni applicazione di controllo moderno con lo straordinario sviluppo di microcontrollori e microprocessori, sempre piú potenti, miniaturizzati, programmabili e a basso consumo.

La teoria del controllo digitale vede i suoi passi fondamentali nei seguenti risultati e strumenti analitici sviluppati in questo ambito. In particolare:

• Teorema del campionamento: dapprima introdotto da Nyquist per i soli segnali sinusoidali, é stato enunciato in maniera compiuta da Shannon nel 1949.
• Equazioni alle differenze: un rinnovato interesse si ebbe verso la seconda metà del secolo scorso, utile per avere un parallelo nel discreto delle equazioni differenziali, che sono alla base di molte nozioni della teoria dei sistemi.
• Z: Trasformata concetto già noto a Laplace, é l’analogo nel discreto della trasformata di Laplace per l’analisi di segnali e sistemi in un dominio trasformato.

1 Capitolo 1. Segnali e sistemi a tempo discreto 2

L’impiego di sistemi di elaborazione, processazione, e controllo digitali porta con sé vantaggi e svantaggi. I vantaggi a livello hardware sono: la flessibilità del controllore, che può interfacciarsi indifferentemente a sistemi fisici e impianti di diversa natura, anche contemporaneamente, la facile manutenibilità, l’invarianza nel tempo delle componenti del controllore digitale, minor effetto del rumore, minori dimensioni e minor costo; a livello software spiccano le migliori prestazioni ottenibili dal sistema controllato, la facilità di implementazione di algoritmi di elaborazione e/o controllo, la riconfigurabilità, lo scheduling delle operazioni e la facilità di monitoraggio e acquisizione dati.

D’altra parte gli svantaggi sono altrettanti, in particolare: i dispositivi digitali richiedono potenza elettrica e non possono lavorare in condizioni estreme di temperatura, pressione, radiazione; la quantizzazione introduce non linearità e potenzialmente cicli limite ed altri effetti indesiderati mentre il campionamento può essere causa di aliasing; inoltre i dispositivi digitali in genere presentano ritardi in fase di acquisizione e elaborazione di segnale oltre ad una certa difficoltà ad interfacciarsi con segnali a banda di frequenza elevata (segnali "veloci").

Infine lo sviluppo di software dedicato al caricamento di algoritmi di elaborazione o controllo richiede risorse significative, oltre alla conseguente scelta di adeguati linguaggi di programmazione e protocolli di comunicazione.

1.1 Segnali a tempo discreto

Def. Un segnale a tempo discreto (o sequenza campionata o semplicemente sequenza) é una →x : successione numerica che associa ad ogni elemento di un insieme numerabile un T K T valore complesso di Tale successione prende il nome di sequenza di campioni. K. ≡ ≡

In genere un segnale a tempo discreto é tale che mentre generalmente (oppure T N, K N Si rappresenta con punti o crocette relative all’istante discreto. Ciascun suo elemento viene C). detto campione; a volte si usa tracciare una linea tra l’istante discreto e il valore assegnato: questo perché la realtà é comunque "analogica" e non esistono segnali esattamente discreti.

In quest’ottica rappresentare un segnale discreto come una serie di impulsi finiti in corrispondenza di ogni istante discreto può aiutare a comprendere la natura piú profonda di questa tipologia di segnali.

Alcune classi di segnali rilevanti sono:

1. Segnali limitati: ∃M ∞ ∀k ∈ |x(k)| ≤< : MZ,
2. Segnali a energia finita: ∞X 2|x(k)| ∞<k=0
3. Segnali modulo sommabili: ∞X |x(k)| ∞<k=0

3 Capitolo 1. Segnali e sistemi a tempo discreto

Tutte le successioni (o sequenze) che rispettano queste prime due proprietà generano uno spazio 2` di Hilbert denotato con dotato di prodotto interno: ∞X *hx, yi = x (k) y(k)k=0* a a.

dove indica l’operatore coniugio di Quest’ultima induce una norma sulle successioni la cui somma converge in norma e che per questo motivo sono dette a quadrato sommabile.

Il concetto di segnale a tempo discreto non é strettamente legato ai segnali digitali: infatti sono segnali a tempo discreto anche le monetine che escono sporadicamente dalle macchinette del caffé.

Un segnale digitale ha caratteristiche precise: un insieme di istanti discreti distanziati dallo stesso T T valore, detto periodo di campionamento, e un insieme finito di valori assumibili dal segnale ad c ogni istante di tempo discreto. In particolare quest’ultima peculiarità dei segnali digitali viene quantizzazione.

detta x(k) [V , V ] Def. Sia un segnale a tempo discreto, limitato nell’intervallo e sia M la ri-min max ∈ l [0, M ]. soluzione massima con cui si vuole descrivere l’informazione in in numero di livelli Allora si definisce l’intervallo di quantizzazione come: −V Vmax min∆= Mx (k) l x(k)

Il segnale quantizzato si ottiene approssimando al livello il valore di al piú vicino Q∆∆− ,l + ].[ltra 2 2

Considerando che solitamente per codificare l’informazione vengono usati due valori (nella kM = 2 klogica binaria [0,1]), la risoluzione massima é pari a , dove indica il numero di bit a disposizione.

Si consideri che per un certo campione si può assegnare un valore quantizzato con errore massimo pari a metà dell’intervallo di quantizzazione.

Def. Si definisce errore di quantizzazione la sequente quantità: ∆−x(k) x (k) =ε = sup Q 2k

A questo punto possiamo scrivere che l’errore di quantizzazione: − −∆ V V V Vmax min max minε = = = k+12 2M 2

La sua espressione esatta é importante in quanto la quantizzazione introduce rumore rispetto al segnale originale, tanto piú marcato quanto lo é l’errore di quantizzazione, e naturalmente occorre considerare un numero di bit adeguato al segnale che si vuole quantizzare.

L’espressione del rumore di quantizzazione é data semplicemente da: −r(k) = x(k) x (k)Q

Capitolo 1. Segnali e sistemi a tempo discreto 4

L’ampiezza di questo rumore sovrapposto al segnale a tempo discreto di partenza ha un ampiezza pari alla metà di ∆. Per segnali con andamenti non lineari il problema del rumore di quantizzazione diventa preponderante e bisogna considerare tecniche di filtraggio in frequenza o quantizzazioni non uniformi (fig.1.1).

Figura 1.1: Rumore di quantizzazione ad andamenti non lineari.

Abbiamo visto che la definizione di un segnale digitale richiede alcuni passaggi e manipolazioni codifica. effettuate sul segnale proveniente dal mondo analogico, riassunte in’unica parola: Nell’ambito dei sistemi dinamici, la discretizzazione non rappresenta non rispecchia alcuna esigenza tecnica, quanto piú invece la necessità di una descrizione analitica conforme a questa classe di segnali.

In fin dei conti però, il concetto di sistema discreto é un astrazione della realtà fisica oppure, che dir si voglia, una descrizione di un sistema a tempo continuo che si comporta secondo il paradigma di un sistema discreto, la cui dinamica é vincolata a scatti lunghi quanto il tempo di campionamento e a valori presi da un insieme finito.

In quest’ottica, possiamo dire che in realtà anche un segnale digitale é un astrazione, o meglio l’uscita di un sistema dinamico che ha "piegato" l’ingresso a comportarsi secondo quanto dettato dal campionamento e della quantizzazione.

Nulla vieta che esistano dei modelli che necessitano ab initio una descrizione tempo-discreto: semplicemente non sono espressione di fenomeni provenienti dalla realtà fisica, ma da altri tipi (fenomeni da realtà socio-economiche, dinamiche sociali in ambienti circoscritti, eccetera).

Detto ciò, l’azione di controllo su un qualsiasi processo o impianto viene impressa attraverso segnali a tempo-continuo. I sistemi tempo-discreto sono descritti da equazioni alle differenze del tipo: F x(n), x(n + 1), ..., x(n + k) = 0

5 Capitolo 1. Segnali e sistemi a tempo discreto

Ad esempio un’equazione alle differenze del secondo ordine é espressa come: a x(n + 2) + a x(n + 1) + a x(n) = 02 1 0

Vediamo infatti che la versione discretizzata di un fenomeno fisico del secondo ordine ha proprio la forma appena vista. Consideriamo l’equazione differenziale: a ÿ(t) + a ẏ(t) + a y = b u(t)2 1 0 0

2T u(·), y(·) C Sia il periodo di campionamento; se i segnali sono di classe o piú, é possibile c effettuare un’approssimazione dell’operatore di derivata. Infatti se il tempo di campionamento ∆t = T é abbastanza piccolo, si può approssimare il tutto con il rapporto incrementale, usando c −∆, ∆y(k) = y(k + 1) y(k). l’operatore il quale per segnali causali fornisce Pertanto, ricordando t = kT che il lo scorrere del tempo é a istanti discreti :c

− −∆y y(t + ∆t) y(t) y((k + 1)T ) y(kT )c c∼ −ẏ(t) = = = y(k + 1) y(k) = ∆y(k)∆t ∆t Tc

− − −∆ y(t + ∆t) y(t) ∆y((k + 1)T ) ∆y(kT ) ∆y(k + 1) ∆y(k)c c∼ÿ(t) = = =2∆t ∆t T Tcc

−− − − y(k + 2) 2y(k + 1) + y(k)y(k + 2) y(k + 1) (y(k + 1) y(k)) == T Tc c

Sostituendo queste approssimazioni nell’equazione differenziale di partenza si ha: −y(k + 2) 2y(k + 1) + y(k) −+ a (y(k + 1) y(k)) + a y(k) = b u(k)a 1 0 02 Tc

Cioé: â y(k + 2) + â y(k + 1) + â y(k) = b u(k)2 1 0 0

I nuovi coefficienti si ottengono facilmente da manipolazioni algebriche e dipendono dal periodo Tdi campionamento : ciò rappresenta un malcondizionamento numerico, in quanto l’algoritmo cdi approssimazione dipende anche da caratteristiche dell’elaboratore stesso.

Z 1.1.1 Trasformata

ZLa trasformata gioca il ruolo della trasformata di Laplace per i segnali a tempo discreto, → ∈x : ztrasformando segnali in funzioni della variabile complessa analogamente al Z C C; tempo-continuo, le trasformate sono definite in una porzione di piano complesso chiamato Zz spiano (in analogia col piano delimitato a sinistra dall’ascissa di convergenza).

→ 7→f : k f (k)Def. Sia (o al piú un segnale a tempo discreto. Si definisce la Z R C),

Capitolo 1. Segnali e sistemi a tempo discreto 6

Z ftrasformata unilatera della sequenza di campioni la quantità: ∞XZ{f −k}(z) = f (k)zk=0 z;

L’idea di questa trasformata si poggia sulla convergenza della serie geometrica di ragione Zper quanto riguarda la convergenza della trasformata vale il seguente risultato. f

Teo. Data una sequenza , si consideri la seguente serie di Laurent estesa solo agli interi ∈znegativi, di centro C:0 ∞X −k−f (k)(z z )0k=0

ρ zEssa converge assolutamente all’esterno di un cerchio di raggio di centro mentre diverge al0 0suo interno.

Zz = 0 fSi osservi che ponendo si ottiene l’espressione della trasformata di , la quale dunque0|z| |z|> ρ = ρconverge per , mentre nulla si può dire sul bordo .0 0

ZfDef. Data una sequenza , si definisce il raggio minimo di convergenza della sua trasformatala quantità: f (k + 1)ρ = lim0 f (k)k→∞

ZSu queste definizioni é possibile calcolare la trasformata di segnali discreti canonici insieme− \ {0} ⊂alla loro corona di convergenza, ricordando che nell’insieme la sequenza assume Z Ttutti valori nulli, in quanto tali segnali per convenzione cominciano ad assumere valori diversi da Zk = 0.zero generalmente a partire dall’istante discreto La trasformata ha diverse proprietà, in completa analogia con la trasformata di Laplace:

• Linearità ZF (z), F (z) ρ ρ f fSiano e , rispettivamente le trasformate delle sequenze , e i loro1 2 1 2 1 2raggi di convergenza. Allora per ogni combinazione lineare di tali sequenze vale: Z{c }f + c f = c F (z) + c F (z)1 1 2 2 1 1 2 2Dove il raggio di convergenza é dato da: ≤ }ρ max{ρ , ρ0 1 2
• Simmetria Z. Z→f : F (z)Sia e sia la sua trasformata Allora, si consideri la trasformata della Z C,

7 Capitolo 1. Segnali e sistemi a tempo discreto

sequenza complessa coniugata: ∞XZ{f * * −k}(z) = f (k)z =k=0 *

∞ ∞ !*X X* −k * **−k= f (k)(z ) = = F (z )f (k)(z )k=0 k=0

*f f (k) = f (k),Se é valori reali, pertanto considerando questo fatto nella definizione, congli stessi conti di prima si ottiene che: Z{f * *}(z)F (z) = = F (z )

Percui: * *F (z ) = F (z)

ZQuesta relazione permette di mappare simmetricamente la trasformata su tutto il pianoF (z).complesso, a partire dal semipiano immaginario positivo che assume i valori di

• Ritardo e anticipo

Un segnale a tempo discreto può essere traslato in avanti o indietro di un certo numerof (k)di campioni; ad esempio, su una trasmissione digitale, una sequenza di campioni puòrraggiungere il ricettore con un ritardo di campioni rispetto al trasmittente,