Geometria - Rette

Geometria analitica

Esercizio 1

Nel piano p determinare l'equazione cartesiana della retta r passante per i punti P = (1, 2) e Q = (-3, 1).

Svolgimento: la retta r passa per P(1, 2) ed è parallela al vettore Q - P = (-4, -1). Perciò se X = (x, y) è un punto generico di r:

X = 1 - 4t
Y = 2 - t

Rappresentazione parametrica di r.

t = 2 - y → x = 1 - 4(2 - y) → x - 4y = -7

Rappresentazione cartesiana di r.

Esercizio 2

Determinare la rappresentazione cartesiana della retta r passante per i punti P = (1, 2, 3) e Q = (1, 1, -1).

Svolgimento: Q - P = (0, -1, -4)

X = 1
Y = 2 - t
Z = 3 - 4t

Rappresentazione parametrica di r.

t = 2 - 6 → x = 1 / 4y - z = 5

Rappresentazione cartesiana di r.

Geometria analitica

Esercizio 1

Nel piano p determinare l'equazione cartesiana della retta r passante per i punti P = (1, 2) e Q = (-3, 1).

Soluzione: la retta r passa per P(1, 2) ed è parallela al vettore Q - P = (-4, -1). Perciò se X = (x, y) è un punto generico di r:

X = 1 - 4t
Y = 2 - t → rappresentazione parametrica di r.

t = 2 - y → x = 1 - 4(2 - y) → x - 4y = -7 → rappresentazione cartesiana di r.

Esercizio 2

Determinare la rappresentazione cartesiana della retta r passante per i punti P = (1, 2, 3) e Q = (1, 1, -1).

Soluzione: Q - P = (0, -1, -4)

X = 1
Y = 2 - t
Z = 3 - 4t → rappresentazione parametrica di r.

t = 2 - 4 → x = 1 4y - z = 5 → rappresentazione cartesiana di r.

Esercizio 3. Rette sghembe

Sia r la retta passante per i punti (1, 3, -2) e (1, 1, 1), ed s la retta passante per i punti (1, 0, 0) e (-1, -1, -1). Dire se r ed s sono sghembe oppure no.

r è parallelo a: (0, -2, -3)
s è parallelo a: (2, -1, -1)

r ed s non sono multipli quindi non sono parallele. Verificare se sono incidenti oppure no.

r:
x = 1
y = 3 - 2t
z = -2 + 3t

Rappresentazione parametrica.

s:
x = 1 - 2t
y = t
z = t

t = ψ

R. n.
x - 2y = ±1
y - z = 0

R. c.

Sostituiamo X, Y, Z di r in s:

1 - 2(3 - 2t) = ±1
(3 - 2t) = (-2 + 3t)
1 - 6 + 4t = ±1
5t = 5 → -2 = 0
t = 1

IMP. Rette sghembe.

Esercizio 4

Determinare la rappresentazione cartesiana del piano p passante per i punti P = (1, 1, 3), Q = (1, 1, -1) ed R = (0, 0, 1).

Il piano passa per P ed è parallelo ai vettori:

Q - P = (0, 0, -4)
R - P = (-1, -1, -2)

x = 1 - t
y = 1 - s
z = 3 - 4s - 2t

x - y = 0

Rappresentazione parametrica del piano p.
Rappresentazione cartesiana di p.

Esercizio 5 (Piano contenente due rette propriamente parallele)

Sia r la retta passante per i punti P = (1, 2, 3) e Q = (3, 2, 1), ed s la retta passante per i punti R = (1, 1, 1) ed S = (3, 1, -1). Provare che r ed s sono due rette diverse, che sono parallele, e determinare l'equazione cartesiana del piano p che le contiene.

r è parallela al vettore Q - P = (2, 0, -2)

x = 1 + 2t
y = 2
z = 3 - 2t

Rappresentazione parametrica.

y = 2
x + y = 4

Rappresentazione cartesiana.

Coordinate di R non soddisfano equazione, r ≠ s.

r è parallela al vettore S - R = (2, 0, -2).

r ed s sono diverse ma parallele, r ed s parallele e complanari.

Q - P = (2, 0, -2)
R - P = (0, -1, -2)

Rappresentazione parametrica di P:

{
x = 1 + 2s
y = 2 - t
z = 3 - 2s - 2t
{

t = 2 - 4
x + z = 4 - 2t
x + z = 4 - 4 + 2y
x - 2y + z = 0

Rappresentazione cartesiana.

Tutti i punti soddisfano tale equazione.

Esercizio 6

Si considerino le seguenti rette r ed s:

{
x = 1 - t
y = 2 - t
z = 5t

{
x + 4 + z = 6
x - 4 - z = -6

{
(1 - t) + (2 - t) + 5t = 6
(1 - t) + (2 - t) - 5t = -6

{
3t = 3
-5t = -5
t = 1

Le rette non incidenti per t = 1 in P(0, 1, 5).

Piano ≡ equ. par. eq. cartes.

Esercizio 7. Retta e piano che si intersecano in un punto

Provare che r e p hanno un punto in comune e determinarlo.

r: = { p: = (1 + t) + (2 + t) + (1 - 5t) = -1

-3t = -5

P (

Esercizio 8. Retta parallela ad un piano

Provare che r è parallela a p.

r: = { p: = { ∈ span (

Esercizio 9. Retta e piano propriamente paralleli

Provare che p e r non hanno punti in comune.

r: {
x + y + z = 6
x - y - z = -6

p: {
x = t + u
y = 6 - t + u
z = -3 + t - u

P = (0, 6, 0) punto di r che non appartiene a p.

Esercizio 10. Retta contenuta in un piano

Si considerino la retta r e il piano p.

r: {
x + y + z = 6
x - y - z = -6

p: {
x = t + u
y = 6 - t + u
z = t - u

(0, 6, 0) di r appartiene a p.

Esercizio 11. Piano passante per una retta ed un punto

Si consideri il punto P = (2, 0, 1) e la retta r di equazione:

r: {
x + y + z = 1
x - y + 2z = -2

Determinare piano contenente r e passante per P.

r passa per Q(-2, 2, 1) ed R(-5, 3, 3). Il piano passa per i punti P, Q, R. r = P + t·(Q - P), R - P). Tale piano è costituito dai punti X = (x, y, z) tali che il vettore X - P appartiene a span (Q - P, R - P). L'equazione cartesiana del piano:

det^{-4   -7   x-2}_{2   3   yy   3   z} = 0

3X + 5Y + 2Z = 6

Esercizio 12. Retta incidente due rette sghembe e passante per un punto

P = (1, 1, 0)

r: = ^{x = 1}_{3y + 2z = 5}

s: = ^{x - 2y = 1}_{y - z = 0}

Determinare retta incidente entrambe e passante per P.

p
x = 1

s
x - 2z = 1

l := p ∩ s = ^{x = 1}_{x - 2z = 1}

Retta che passa per P e interseca r in X(1, ⁵/₃, 0) e s in Y(1, 0, 0).