Punti, vettori, piani e rette nello spazio

Capitolo 4

I Rrcxlnul

otGeomernh ELEMENTARE

DELLo

spAzto ......56

lncidenza piani....

fra ............56

Parallelismo -

tra rette Dírezione ...........57

Refúe

sghembe"""""' ...........s7

Perpendícolarità e oftogonalità fra rette..... .............sT

lncidenza tra retta piano......

e ................gg

piani

due incidentie piani ortogonati..

lnO.ol2fra ...-.................5g

Proiezione oftogonale piano

su un .......5g

Teorema

dette perpendicotari..............

tre ................60

2 Spnzro

vETToRIALEV3

............. ..................60

Spazio

affine e relazione di Chasles. ........................60

Dipendenza

e indipendenza gase

rineare. Dimensione

div'. aivg..............................at

Prodotto scalare

in vr.......... ...................6J

Coseni direttori di un vettore .................65

Esercizi""' ..........66

3 CoonorHlrE

NELLo

spAzto........ .................67

Esercizi""' ......-...69

4 EQUAZIoNE

DI

UN

PIANo

NELLo

sPAzIo ........69

Esercizi..... ..........73

5 EeuAztoNt

Dt

UNA

RETTA

NELLo

spAzto........ ..................14

Esercizi..... ..........7g

puNTo

6 DrsreNze ptANo

Dt

uN DA

uN ............g0

Applicazione: forma normare di Hesse deil'equazione cartesiana piano............g1

di un

Esercizi"'-. ..........g2

7 Pnooorro vETToRtALE

Dt

DUE

vETToRt...... ....................g3

Distanza punto

di un da una retta.......... ..................E5

Esercizi..... ..........gT

8 PRoDorro

Mtsro Dr3 verroRr... .................8g

Proprietà prodotto

del misto di tre vettori................ ..................8g

Distanza

fra due rette sghembe.............. ..................gg

Esercizi..... ..........g1

punti,

56 Cap.4. vettori,

pianie rette

nello spazio

I Richiami di Geometria erementare

deilo spazio

paragrafo ha

Questo solo lo scopo di riassumere

brevemente

le nozioni elementari di

geometria

dello spazio,

nozioni che saranno

d'aiuto nella comprensione

dei metodi

vettoriali usati per risolvere

problemi concreti

o teorici nello spazio

euclideo.

Risulteranno

altresì-d'aitÍo

I'intuizione vari enti geometrici

fisicadei spaziali (punti,

piani, rette, ...), laddove

questa

possa

sàstituire

validamenie

un,arida

conoscenza

teorica.

così un tavolo, un foglio di carta

non piegato,

una lavag flà,

...possono

dare

benissimo

una rappresentazione

concretadeil'èntà

geometrico

astratto

piano.

Importante, comunque, è ritenere che, da punto

un di vista formale, tre punti non

allineati dello spazio, o due rette parallele e-distinte o due rette incidenti in punto

un

definiscono piano:

un

in 1 l

i / l /

c/ /'>ì<-,

i:z'"/

,/<

/ / /"/ :r,/

:! /

Il piano

unico passante

per i tre punti non allineati

A, B e C si indica anche

come

piano

(ABC), mentre

il piano

della

figura

a destra,

individuato

dalle

due

rette

r e s

incidenti

in A, si indica

con (rAs).

di geometria sono

applicabili

in ciascun

giana piano

dello spazio;

in

IIT] iitt",tati

partrcorare, p

due

punti distinti e di piano

un definiscono

e la retta

(pe) d;l piano

considerato

Incidenza

fra piani

piani

Due o sono

parallelí e distinti, o sono

coincidenti,

o sono

incidenti:

r

I

'r' 1'"

/ 'rz r

1 [,,,

Paralleli e distinti Coincidenti Incidenti

n11n2: O T(,1^îC2: TÍl: î82 TE{\TE2: î

L'intersezione di piani

due incidenti individua e definisce una retta nello

spazio.

In realtà,

nello spazio,

una retta è il fulcro di una stella infinita piani,

di

esattamente

come piano

nel punto

un è il fulcro di un fascio infinito di rette.

R.SANTORO:

Geometria Cap.4:

Punti,

vettori,

pianie rette

nelto

spazio 57

piano,

Nel bastano

due rette incidenti per individuare punto.

il Analogamente,

nello spazio,

bastano

due piani della stella

per individuare in modo univoco la

retta.

Parallelismo -

tra rette Direzione

Nello spazio,

due rette r e s sono parallele

se:

o Sono

coincidenti

. appartengono

ad uno stesso

piano e r-rs: A

Nello spazio, l'insieme di tutte le infinite rette parallele ad una data retta

individua una direzioae. possibile

é definire,

euindi in questo

modo, infinite

direzioni dello spazio.

In termini più rigorosi, nell'insieme delle rette dello

spazio, si introduc

e la relazione

di parallelismo tra rette. relazione é

euesta

una relazione

di equivalenzaed

induce,

nell'insieme di definizione,

una parti_

zione in classi di equivalenza ogni classe

di equivalenza

é una direzione dello

spozio.

Rette sghembe

Sono sghembe

due rette che, pur non avendo punti in

comune,

non sono parallele

e non hanno,

quindi, un

unico piano di appartenenza.

possibile

E dimostrare

che, date due rette sghembe

r e

s, esiste

un unico piano contenente

r parallelo

e a s ed

un unico piano contenente parallelo

s e a r; inoltre,

questi due piani paralleli.

sono

Perpendicolarità e ortogonalità fra rette

Nello spazio, due rette incidenti (e appartenenti,

allora, ad uno stesso

piano)

formanti un angolo retto si dicono

perpendicolari.

per

siano r e s due rette dello spazio. punto

un o dello spazio

si conducono

d u e r e t t e ,

l a r e t t a r ' p a r a l l e l a a d r e l a r e t t a s ' p a r a l l e l a a s . L e r e t t e r ' e ^ r , s o n o

incidenti e complanari.

se risulta che le rette

r'e r, sono perpendicolari,

si

dice che le rette r e s sono ortogonali.

se due rette

r e .r sono ortogonali, parallela

ogni ad r è ortogonale

ad ogni

parallela

ad s e viceversa.

Dunque la perpendicolarità

fra rette dello spazio é un particolare

caso della

ortogonalità fra rette dello spazi

o: nello spazio, due rette perperdicolari sono

due rette complanari che hanno direzioni ortogonali. R.SANTORO:

Geometria

punti,

58 Cap.4: vettori,

pianie rette

nello

spazio

Nella figura a lato è disegnato

una scatola.

avente la forma di un parallelepipedo.

Da questa

figura possibile

è ritrovare alcune

situazioni

già /'

descritte

o A

altre da vedere

ancora. "

1 i /

B,;. i,r''

Piani paralleli: (ABC) (FGH),

e F t

(AFD) (BGC),

e G

(AFB) (DEC),...

e

Rette

parallele: (AF) (CH) (DE);

,(BG), e

(AB), (DC), (EH) (FG);

e

(EF),

(HG),

(CB) (DA);

e

Rette

sghembe: 3Bì: ttSÌ

((EH) (AG),...

e

Rette perpendicolari: (AF) (FG),

e

(BG) (cE),...

e

Rette

orrogonali: (DE) (FG),

e

(AF) (cH),...

e

Dunque

due rette r possono

e.r essere:

incidenti (rÒs: In questo

caso

individuano

{A}). univocamente piano

il rAs.

:

non incidenti (rns Z). Bisogna

distinguere

due casi:

- le due rette sono complanari e sono quindi parallele.

- le due rette sono non complanari e si dicono sghenbe.

Incidenza tra retta piano

e

una retta può essere:

parallela ad piano,

un giacente sul piano o appartenente

piano,

al incidente piano,

il come nelle figure che seguono: r

/ -z;' a \

/ \

/

/ / \ p

/ / / "

/'

/ / /r

j /

lt "

1l \

Retta parallela piano

al Retta appartenente piano

al Retta incidente piano

il

rîtn: o rrìfi:r rnn: {P}

Come è chiaro dalla figura a destra,

una retta incidente piano

un n interseca

il

piano n in un punto

solo P.

R.SANTORO:

Geometria Cap.4: Punti, vettori,

pianie rette netto spazio Sg

circostanza

Questa consente

di definire I'orto_

gonalità

tra retta r piano

e 7r:

una retta r inci_

p

dente un piano n in perpendicolare

è a 7r

se

tutte le rette giacenti piano

sul passanti

a e

per P formano con r un angolo retto (oppure

sono pe{pendicolari

ar).Yanotato che lorette /i 4

(incidenti in P) r e a individuano piano,

un il a/

i

piano (rPa), ed è questo

su piano che si verifica I

perpendicolarità

la di r e a. Analogamente

per I

tutte le altre p.

rette passanti

di n I

per

La retta perpendicolare p

a n in è unica. viceversa, piano

il perpendicorare a

rinPèunico.

Angolo fra due piani incidenti piani

e ortogonali

Siano r.1e,

n2due

piani incidenti in

p

r. Per punto

un qualunque di r si

conduce piano

un perpendicolare

zr

a r. Risulta:

TlflT[:aen2fln:b.

7 piano

Sul (apb) si misura I'angolo

/

/ qPó. Tale angolo definisce

anche

I'angolo (detto pure angolo diedro)

tra i piarú

due n1e n2.

se I'angolo

diedro è retto i piani

due si diconop erpendicolari o ortogonali.

puo

si anche dire che due piani sono ortogonali se e soltanto se piano

un

contiene

una retta ortogonale

all'altro piano. Due piani ortogonali,

evidentemente,

sono sempre

secanti.

Se piani

due secanti

n1e n2sono ortogonali

ad un terzo piano n3la retta

r

d'intersezione

tra 11 e n2 é ortogonale piano

al z1 .

Proiezione ortogonale su piano

un

Dato punto

un P piano

ed un n, proiezione

si dice

ortogonale

di P su n, I'applicazione

che fa corri_

p,

spondere

a P punto

il d'intersezione della retta

ortogonale

condotta

da P su n piano

ed il n stesso. 1

p'

Per abuso

di inguaggio

si dice anche

che é la

p

proiezione

ortogonale

di su n.

Analogamente può

si proiettare ortogonalmente piano

sul un segmento,

una

retta o una figura qualunque.

Nella figura di sopra,

ad esempio, proiezione

la

ortogonale

del segmento é il segmento e la proiezione

tpel ortogonale

[p'e']en

della retta (PQ) é la (P'Q')ezr.

retta R.SANTORO:

Geometria

punti,

60 Cap.4'. veftori,

pianie rette

neilo

spazio

Teorema delle tre perpendicolari

Sia n un piano, O un punto del piano e r unct

retta giagente PI

sul piano e non pqssante

per O. Il

punto H é la proiezione , +t*

ortogonale r

di O su r. ol

,/ t

Per O si conduce la retta perpendicolare

d ql A___<'n

piono n. Allora ogni retta congiungente

un d

p

punto qualunque di d con punto

il per_

H è

pendicolare alla retta r.

Dimostrazione

ruustrazlOng:

Il teorema

é certamente p

vero se il punto coincide con O, in quanto, in

questo

caso,

(oH) é ortogonale

ar per definizione proiezione

di ortogonale.

Sia, allora, P*o' piano

Il é ortogonale

alla

(poH) retta

r,in quanto (che

d e

ortogonale ad ogni retta del piano n) é ortogonale a r, (OH),

e per

definizione di proiezione

ortogonale, perpendicolare

é a r. I)unque ogni

retta del piano (PoH) é ortogonare

a r; particolare

in lo é ra retla(pH) di

questo

piano.

Per

riprendere

l'esempio

del parallelepipedo pagina

di 5g, possono

si ancora

mettere

in evidenza

i seguenti

enti geometrici:

Rette piano

e perpendicolari: retta

(EF) piano

e (EFG),

retta

(AB) piano

e (GBC),

...

Piani perpendicolari: (ABC) (FAB),

e

(FEH) (EHC),

e

((DBG) (FEH),

e ...

2 Spazio vettoriale V3

Sia X l'insieme dei punti dello spazio.

L'estensione

della definizione

di puo

V2 farsi

subito a V3, insieme dei vettori dello spazio, dove un vettore di V3 è una'ciasse

di

equivalenza

rispetto alla relezione

di equipollenza

definita nell,insieme

2x2 dei

bipunti dello spazio. ,,

Anche per v3 possibile

è definire vna operazione r

interno, rispetto (v3, +)

a cui è

un gruppo abeliano ed una operazione esterno,la moltiplic azione

di un vettore per un

numero

reale,

le proprietà

cui sono del tutto identiche

a quelle viste per V2. In tal

modo, può

si dire che (V.,R,+;

Ia struttura é una struttura dí spazio vettoriale reale.

Spazio affine e relazione di Chasles

possibile

E' stabilire

un'applicazione

q tra I'insieme

delle

coppie punti

di

dello spazio

(appartenenti

all'insieme

xx)) e I'insieme

dei vettori

di v.:

+ V:

V.2x2 - + i

n : ( A , B )

L'applicazione risulta

essere

suriettiva

ma non iniettiva.

7

R.SANTORO:

Geometria Cap.4:

Punti, pianie

vettori, rette

neilo spazio

61

Lo spazio X collegato, dall'appli cazione allo

ry,

'\re spazio vettoriale V3 si chiama spazio ffine"

Se prende

si un punto piano

O del affine 7r

come

punto privilegiato, risulta, per qualunque coppia

o (A,B) punti

di di Xx): Relazione

di

Chasles

- - +

OA+AB=OB =

Dipendenza e indipendenza lineare. Dimensione di v3. Base di v3

In V3 due vettori de 6sono collineari o linearmente =

dipendenti

se 6 kà

oppure se esiste

una coppia di numeri (1r, (0,

* 0) tale che

0)

TSli

d+pb=0.

In v3, tre vettori d,6 ed sono

linearmente

indipendenli

se la relazione

d+86+yd=d

possibile

è solo con la terna :

di numeri reali (o (0,0,0).

, ,y

0 )

E facile verificare che

il numero massimo

di vettori linearmente indipendenti

di V3

è uguale questo

a 3: significa che la dimensione di V3 è 3.

possibile,

É allora, scegliere qualunque

una terna (èr,Ar,4) di vettori

linearmente

indipendenti

di v3 come base

di vj. un vettore adiv può

3si

scrivere

come combinazione

lineare

dei vettori di base:

a-xér+!èz+zè3

I y

numeri x, e z si chiamano

componenti

numeriche

di d rispetto alla base

scelta.

Cambiando

la base

le componenti

numeriche

cambiano.(*)

(*) Facendo

riferimento alle sue componenti

numeriche

rispetto ad una data base,

il vettore d di V, Ruò

l,l

Irl l*l

- l l - l l r l

anchescriversid=l)loppur.Alll:intalcasoilvettorelylrlchiamaanchevenore-colonn

(..J

[.,/ [.j

l"ì

essendo righee I colonna.

Potrebbeanchescriversi comeunamatrice

d

)

| lunumatriceavente3

[.J 'vettore'

:

avente

I riga e 3 (x, y,

colonne:

d x); in (x, y,

tal caso

il z) si chiamerebbe

vettore-riga.

A seconda

dei casi.

sono

utilizzate

entrambe

le notazioni. R.SANTORO'.

Geometria

punti,

62 Cap.4'. vettori,

piani e rette

netto spazio

=

d =

+ ar)+ d, xé, yè,

+ + zè.

@,

possibile

E' dimostrare

che, dati due vettori:

:

d ard, + arè, =

+ arè, bré,

+ brè,

,6 + bré3

,

questi

sono collineari se e solo se:

o,l q,) a,l

lo, lo, lo,

-lb, o'

u,l=lu:

,,1=

b,l=

It,

Dati tre vettori

=

d arè,

+ arè, =

+ arèr,6 brè,

+ brè, =

+ brèr,è crè,

* crè, + cré,

di V3, vale il seguente

teorema: " " 1

a2 , l

P'

+ , olr, b2

e , b , c s o n o =

c o p l a n a r i b . l

I

c2 c " l

lct J l

In effetti, se i tre vettori sono coplanari, sono anche linearmente dipendenti e,

quindi, la combinazione

lineare

d,d+86+yd=ó

possibile

é con (cr

una terna il

,F che

,y)*(0,0,0), significa,

sostituendo

le

componenti

dei tre vettori, che:

+ arè,

4(grd, + arer)+ (n,e,

+ bré, + brer)+y

F + crè,

+r,à, ó =

G,é, )=

(oo,

+ +yc,), *(oo, + +ycrh,

Bb, *@o. =

+ +ycrh

Bb, ó +

Bb,

R.SANTORO:

Geometria Cap.4: Punti,

vettori,

pianie rette

netto spazio

63

gb., g

+ =

+yc,

luo, g

+ =

+yc,

Bb,

]aa, g

+ :

+yc,

lua, Bb,

Il sistema

precedente

é un sistema

lineare

omogeneo

(cioé con i secondi

membri tutti uguali a zero). sistema

può

euesto fornire una soluzio

ne diversa

da q_uella

banale g,y =

(o, (o,o,o)

{ se e solo se il

) } determinante

dei

coefficienti