Matematica - Geometria Analitica

La retta: geometria analitica

Equazione di una generica retta

Verticale: x = k

Non verticale: y = mx + q

NB 1. Rette orizzontali: m se 0 → y = q

NB 2. Passanti per origine: q = 0 → y = mx

Rappresentazione della retta

y = -¹/₂ x + 2

x 0 2

y 2 1

La retta: geometria analitica

Equazione di una generica retta

Verticale: x = k

Non verticale: y = mX + q

m = coeff. ang. (pendenza)

q = term. noto (intercetta)

NB. 1 Rette orizzontali m = 0 → y = q

NB. 2 Passanti per l'origine q = 0 → y = mX

Rappresentazione della retta

y = -¹/₂x + 2

x 0 2

y 2 1

Det. equazione della retta

Due casi:

• Quando è noto coeff. angolare _M e un punto di passaggio
• Quando sono noti 2 punti di passaggio

• Trovare eq retta passante per (0,2) con M = 1/2

y = ^ax/₂ + q

2 = ¹/₂ (0) + q → q = 2

y = ¹/₂x + 2

~ Sostituisco in nell’equazione

~ Sostituisco (x,y) - nell’equazione

Trovare y = mx + q passante per (1,1) e (2,3)

{1 = m(1) + q

{3 = m(2) + q

{m + q = 1

{2m = 3-q → ^(3-q)/₂ → {9 = 1-^3-9/₄

m = 3-q ₂

{9 - (1-q) _1/2

{9 = (2) → ¹/₂

{m = 2

y = 2x - 1

~ Sostituisco entrambe i punti. Creando un sistema in 2 inconite

NB: m = ^{y_B - y_A}/_{x2 - xA} per ciò m = ^Δy/_Δx e poi y_A = ^Δy/_Δx X_A + q e trovo q

Rette parallele e perpendicolari

Premessa

Piano: parallele; incidenti; perpendicolari; non perpendicolari

Spazio: complanari; non complanari (solo piani in comune o paralleli)

Domanda: È vero che se due rette non hanno punti in comune sono parallele?

Nel piano

No, nello spazio (potrebbero essere sghembe)

Parallelismo

Due rette sono parallele quando i coefficienti angolari sono uguali: m₁ = m₂

Esempio: Dire se tra le seguenti rette ci sono coppie di parallele:

• y = 3x + 2
• y = ¹/₃x + 2
• y = 3x + 2
• x + 3y - 4 = 0 → y = ^{-x + 4}/₃

Perpendicolarità

m₁ = -¹/_m2

NB: Si può fare la stessa dimostrazione anche senza passaggio dall'origine.

Esempio: Quali sono perpendicolari?

• y = -7x + 5
• y = -5x + 7
• y = ¹/₇x - 5
• y = -¹/₅x + 7

Esercizio: Trovare ⟂ a y = ¹/₂x + 1 e passante per (1, 1)

y = mx + q

m:¹/₂

y = 2x + q; (1)= 2(1) + q → y + q = -1

y = 2x - 1

Osservazione: 2 rette ⟂ ad una terza, sono tra loro parallele

Distanza punto retta ed intersezione tra rette

Intersezione tra rette

Sist. determinato soluzioni P(x, y)

Sist. impossibile rette parallele

Sist. indeterminato le rette coincidono

Esercizio 1

Dire se y = x - 1 e y = -1/2 + 2 si incrociano e trovare P

y = x - 1

y = -x/2 + 2

{ y = x - 1

{ x = 2

{ y = 1

P(2, -1)

Distanza punto retta

d = | y₁ - mx₀ - q |√1+m²

Esercizio 3

Calcolare distanza P(-2,2) dalla retta y = x + 2

d = | -2 - 1(2) - 2 |√1 + 1²

6 = 12 = 2/2 = √2 √2 √2 √2

Fasci di rette

Fascio improprio di rette

Insieme di tutte le rette di un piano tra loro parallele.

y = mx + q (q fisso, m variabile)

Per il fascio di rette verticali:

x = k

Esercizio 1

Scrivere eq. fascio di rette // a y = 2x + 1

y = 2x + q

Fascio proprio di rette

Insieme di tutte le rette del piano che passano per uno stesso punto detto centro del fascio.