Geometria - Esercizi guidati

Geometria per Ingegneria: esercizi svolti passo passo

Pagina 1 - Metodo generale + Esercizio 1 (vettori)

Questo fascicolo raccoglie esercizi tipici di Geometria per Ingegneria risolti in modo graduale.

L'obiettivo non è soltanto arrivare al risultato finale, ma mostrare come si imposta correttamente il problema: scelta dei dati, uso della formula giusta, interpretazione geometrica e verifica numerica.

In ogni esercizio si parte dai dati, si esplicitano i passaggi e si conclude con un breve commento sul significato del risultato.

Esercizio 1. Vettori

Siano u=(3,1) e v=(1,3). Calcolare u+v, il prodotto scalare u·v e l'angolo tra i due vettori.

Somma: u+v=(3+1, 1+3)=(4,4).

• Prodotto scalare: u·v = 3·1 + 1·3 = 6.
• Norme: |u|=√(3²+1²)=√10 e |v|=√(1²+3²)=√10.
• Formula dell'angolo: cos(θ)=(u·v)/(|u||v|)=6/10=3/5.
• Quindi θ = arccos(3/5) ≈ 53,13°.
• Verifica: il prodotto scalare è positivo, quindi l'angolo è acuto, coerente con il disegno.
• Il vettore somma si ottiene con la regola del parallelogramma; l’angolo tra u e v risulta acuto.

Pagina 1

Pagina 2 - Esercizio 2: retta per due punti e distanza punto-retta

Testo. Determinare l'equazione della retta passante per A(1,2) e B(5,4). Calcolare poi la distanza del punto P(3,1) dalla retta trovata.

Coefficiente angolare: m=(4-2)/(5-1)=2/4=1/2.

• Equazione in forma esplicita: y-2 = (1/2)(x-1).
• Semplificando: y = (1/2)x + 3/2.
• Forma cartesiana: x - 2y + 3 = 0.
• Formula distanza punto-retta: d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a²+b²).
• Con a=1, b=-2, c=3 e P(3,1): d = |3 - 2 + 3| / √5 = 4/√5 ≈ 1,79.
• Interpretazione: la distanza è la lunghezza del segmento perpendicolare da P alla retta.
• La retta è costruita a partire dai due punti dati; il segmento rosso rappresenta la distanza minima.

Pagina 2

Pagina 3 - Esercizio 3: piano e intersezione con una retta

Testo. Considerare il piano π: x+y+z=4 e la retta r: (x,y,z)=(1,1,2)+t(1,1,-1). Trovare il punto di intersezione tra r e π.

Scriviamo le equazioni parametriche della retta: x=1+t, y=1+t, z=2-t.

• Sostituiamo nel piano x+y+z=4.
• Otteniamo: (1+t)+(1+t)+(2-t)=4.
• Semplificando: 4+t=4, quindi t=0.
• Sostituendo t=0 nella retta: x=1, y=1, z=2.
• Il punto di intersezione è Q=(1,1,2).
• Interpretazione: il punto iniziale della retta appartiene già al piano, quindi l'intersezione si
• Legge subito anche geometricamente.

La retta incontra il piano nel punto Q(1,1,2), evidenziato in nero sul grafico tridimensionale.

Pagina 3

Pagina 4 - Esercizio 4: circonferenza e tangente in un punto

Testo. Data la circon