Esercizi geometria

Lez. 4: sistemix

2y + 3z + t = 22x - 5y + 9z = 5x - y + 3t = 1A = [1 -2 3 0][2 -5 9 0][1 -1 0 3]A,B = [1 -2 3 0 2][2 -5 9 0 5][1 -1 0 3 1]rang(A) = | [-2 3] [-5 9]| = (-18-6) - (-15-9) = -24 + 24 = 0|[-2 3 0][-5 9 0]|-|[-2 3 0][-1 0 3]| = 0|[-2 3 0][-1 0 3]| = (-54) - (-9-6x5) = 0|[2 -5 9][1 -1 0]| = (27) - (3 + 18) = 0rang(A) = 2rang(A,B) = 2il sistema è compatibile

M = (1 -2 2 -5) => det. = -5 - (-u) = -5t + (-1)x-2y = 2 - 3t - h2x - 5y = -9h + 5z = ht = kx = (2 - 3t - h)5 - 9h - 5= (-5)(2 - 3t - h) - (-2)(5 - 9h)-10 + 15t + 5h-18t += 5t - 3hy =(1 2 - 3t - h)2 5 - 9h= (5 - 9h) - (2)(2 - 3t - k)= 3t - 2k - 1S = { (3t - 5k, 3t - 2k - 1, h, k) | h,k ∈ ℝ }

Lez. 4: sistemix - 2y + 3z + t = 2 2x - 5y + 9z = 5 x - y + 3t = 1A = | 1 -2 3 0 || 2 -5 9 0 || 1 -1 0 3 |A,B = | 1 -2 3 0 2 || 2 -5 9 0 5 || 1 -1 0 3 1 |rang(A) = | 1 -2 3 || 2 -5 9 || 1 -1 0 | = (-18 - 6) - (-15 - 9) = -24 + 24 = 0| 2 -5 9 || 1 -1 0 | = (-15 - 2) - (-5 - 12) = 0| 1 -2 0 || 1 -1 3 | = (-54) - (-9 - 6.5) = 0rang(A) = 2, rang(A,B) = 2 ie sistema è compatibile

M = | 1 -2 || 2 -5 |→ det = -5 -(-u) = 5t(u=-1)x - 2y = 2 - 3z - k 2x - 5y = 9z + 5ξ=βη t=kη;x = || 2 -3β -k || 5 -9β ||-2 |-5 |=(-5)(2 - 3β - k) - (-2)(5 - 9β) -10 + 15β + 5k + 10 -18β= -15k - 3β = 3β - 5ky = | 1 2 -3β - k || 2 5 -9β |=(5 - 9β) - (2)(2 - 3β - k) 5 - 9β -u + 6β + 2k-1= -1 - 3β + 2k = 3β - 2k - 1S = { (3β - 5k, 3β - 2k - 1, β, k) | β, k ∈ R }

Sistema omogeneo

Sistema omogeneo -> sempre compatibileA = (1   3   3   2)(2   6   9   5)(0   -3   -3   5)M = (3   3)(6   3) = 27 - 18 = 9H₀ = (1   3   3)(2   6   9)(0   -3   3)(18 - 18) - (-27 + 18) = 9rang (A) = rang (A, B) = 3

{ x + 3y + 3z = -2k2x + 6y + 9z = -5k-3y + 3z - t = kX = ( -2k   3   3 )   ( -5k   6   3 )   ( k   -3   3 )= ( 18(-2k) + 27k + 15k*3 ) - (18k + 27) (t + 2k) + 9(-6k) =     9z = -36k + 27k + u5k - 18k - 54k + 45k = 9k   9k           9y = (1   -2k   3)  (2   -5k   9)  (0   k   3)9(-15k + 6k) - (9k -12k) = -   -6/9 k = -2/3 kz = (4   3   -2k) (0   -3   -5k) (0   9   k)9  (6k + 12k) - (45k + 6k) =          -3k 9 = -1/3 kS = {(k, -2/3 k, -1/3 k, k) | k ∈ ℝ }

Lez. 8: sottospazio vettoriale, base e dimensione

S={(x,y,z)∈ℝ³|2x-y+z=0}S={f(x,2x+z,z)| x,z ∈ℝ³}Sottospazio vettoriale.0∈S: per x=0 z=0 abbiamo (0,2·0+0,0)=(0,0,0) ∈0∈S∀v∈S, ∀r∈ℝ: v={x,y,z1, z2)| x,z ∈ℝ^3} v2=f(x1, 2x1+z1,z1)/ x,z ∈ ℝ^3)∀v1+(x1, 2x1+z1,z1)+(x2, 2x2+z2,z2)=(x1+x2,2x1 +2x2z1+z2).∀ v,v ∈S∀r*v=(rx, r ∈ℝ^3)

Base di S:x=1 → v4=(1,2,0)z=0x=0 → v2=(0,1,1)z=1i.c.?1 0 12 1 00 1 1rang=2 → max vettori l. i.generatori? x (1,2,0) + z (0,1,1)=(x,2x,0)+(0,z,z)==(x+0,2x+z,0+z)=(x,2x+z,z) Quindi {v1, v2} base di SDim S=2

Si può evitare di dimostrare che v1 e v2 sono generatori di S perché S ≠ℝ³quindi dim S ≤2 quindi ≥max l.c. di Se avendo dimostrato che v1 e v2 sono l.i. essicostituiscono una base di S per un moto cancellario

Lez. 9: cambiamento di base

V = R²

• Con V₁ = {(1,0), (4,0)} V₂ = {(9,2)}
• Con V₁ = {(0,1), (4,0)} V'₂ = {(3,2)}

A.M. con V₁ V₂ V'₂ (1, 0) = a₁ (1, 0) + a₂ (3, 2) [0, 1] = (3 a₂, 2 a₂ + a₁) [2, 2] = (3 b₂, 2 b₂ + b₁)

V = x₁ V₁ + x₂ V₂ => (3, -1) = x₁ (1, 0) + x₂ (2, 2) 3 = x₁ + 2 x₂ x = 3 - 2 x₂, -3 + x = 1+x₁. => x = (-4/3)

Il cambio di base con: X’ = AXA = ( -2/3   2/3 )  (  1/3   1/3 )Det(