Continuità

Funzioni continue

Definizione

f : X ⊆ R → R e sia x₀ ∈ X.

f si dice continua in x₀ se x₀ è isolato, oppure ∃ lim_x→x0 f(x) = f(x₀).

Conseguenze

f elementari sono continue nel loro dominio.

Algebra delle f continue

Se f, g sono continue in x₀ ∈ dom (f) ∩ dom (g), allora lo sono anche:

• F + g
• F - g
• F / g
• C · f

Permanenza del segno

f : X ⊆ R → R continua in x₀ ∈ X, f(x₀) > 0.

Allora ∃ intorno di x₀ t.c.: f(x) > 0 ∀ x ∈ V ∩ X.

Continuità f o g

f : X ⊆ R → R, f continua in x₀.

g : Y ⊆ R → R, g continua in x₀.

Sia f(x) ≤ y.

⇒ g o f è continua in x₀ ∈ X.

Continuità da dx e da sx

Se ∃ lim⁺_x→x0 f(x) = f(x₀).

Continuità ⇔ continuità da dx e sx.

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Permanenza del segno

Supponiamo che _k→∞ f(a_k) > 0.

Ora f(a_k) è una successione con limite strettamente positivo.

→ f(a_k) > 0 definitivamente.

Corollario

Siano f, g : [a, b] → ℝ continue t.c. f(a) < g(a) ∧ f(b) > g(b) ⤇ ∃ x₀ ∈ (a, b) tc f(x_c) = g(x_c).

DIM F(x) := f(x) - g(x).

Soddisfa tutte le ipotesi del teorema degli zeri.

∃ x₀ t.c. F(x₀) = 0 → f(x_c) = g(x_c).

Massimo e minimo di f

Definizione

\( f: X \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) sia m ∈ R (risp. m ∈ R).

m si dice massimo globale.

\(\exists x_0 \in X \) t.c. m = f(x_0) ≥ f(x) \(\forall x \in X\).

m si dice massimo locale.

\(\exists x_0 \in X\), \(\exists U\) intorno di \(x_0\) t.c. m = f(x_0) ≥ f(x) \(\forall x \in U \cap X\).

m si dice minimo globale.

\(\exists x_0 \in X \) t.c. m = f(x_0) ≤ f(x) \(\forall x \in X\).

m si dice minimo locale.

\(\exists x_0 \in X\), \(\exists V\) intorno di \(x_0\) t.c. m = f(x_0) ≤ f(x) \(\forall x \in V \cap X\).

Notazione

\(\max_X f\) \(\max_{U \cap X} f\).

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