Continuità

Continuità delle funzioni

Definizione

Sia f : I → ℝ con I ⊂ ℝ un intervallo (aperto). Diciamo che f è continua in x₀ ∈ I se lim_x→x0 f(x) = f(x₀). Diciamo che f è continua in I se è continua in ogni punto di I.

Osservazione

L’apertura del dominio può essere omessa se intendiamo prendere nel limiti unilaterali sugli estremi in caso di intervallo chiuso.

Nota bene: Nei teoremi - continuità delle funzioni elementari - si dice che le funzioni elementari sono continue nel loro dominio massimale di definizione.

Esempi

sin(x) è continua in ℝ; { √x } non è continua in 0, infatti lim_x→0 √x (non esiste) → quindi 0 per forma diversa del f(0).

Funzione caratteristica

La funzione caratteristica χ_[a,b](x) è definita come:

• 1 se x ∈ [a,b]
• 0 altrimenti

χ_[a,b](x) è continua in ℝ\{a,b} e in a e b non è continua perché lim_x→a^- χ_[a,b](x), lim_x→b^- χ_[a,b](x) non esiste.

Funzione gradino

La funzione gradino r_[a,b](x) è definita come:

• 0 se x ≤ a
• x-2 altrimenti