Continuità

Continuità

f : I → ℝ     dove I = ℝ intervallo

Def: f è continua in un punto x₀ ∈ I se ^lim_x→x0 f(x) = f(x₀), avanzate che f è definita in x

I = [a,b]     f è continua in a se ^lim_x→x⁺ f(x) = f(a)

f è continua in I, se f è continua in x, ∀ x ∈ I

f è continua in x₀ se ^lim_x→x0 f(x₀) = f(x₀) cioè

∀ ε > 0     ∃ δ > 0 t.c. |f(x) - f(x₀)| ≤ ε     ∀ x∈∈ (x₀ - δ, x₀ + δ)

Proprietà

1. somma di funzioni continue è una funzione continua
2. prodotto di funzioni continue è una funzione continua
3. quoziente di funzioni continue è una funzione continua (denominatore ≠0)
4. differenza di funzioni continue è una funzione continua

Discontinuità

Una funzione f non è continua in un punto x₀ se si verifica una delle seguenti condizioni

1. f(x)

   ^lim_x→x0 f(x) = L      ma      L ≠ f(x₀)

   discontinuità eliminabile

ex.

f(x) = { sin / x   x ≠ 0

.

5            x = 0

Dom (f) = ℝ

^lim_x→0 sin / x   = 1 ≠ f(0) = 5

f non è continua in x=0

Continuità

f: I → ℝ dove I ⊆ ℝ intervallo

Def: f è continua in un punto x₀ ∈ I se lim_x→x0 f(x) = f(x₀), ovvero che f è definita in x.

I = [a, b] f è continua in a se lim_x→a⁺ f(x) = f(a)

f è continua in I, se f è continua in x, ∀ x ∈ I

f è continua in x₀ se lim_x→x0 f(x₀) = f(x₀) cioè

∀ ε > 0 ∃ δ>0 t.c. |f(x) - f(x₀)| ≤ ε ∀ x ∈ (x₀ - δ, x₀ + δ)

Proprietà

1. somma di funzioni continue è una funzione continua
2. prodotto di funzioni continue è una funzione continua
3. quoziente di funzioni continue è una funzione continua (denominatore ≠ 0)
4. differenza di funzioni continue è una funzione continua

Discontinuità

Una funzione f non è continua in un punto x₀ se si verifica una delle seguenti condizioni:

1. lim_x→x0 f(x) ≠ L ma L ≠ f(x₀)

   discontinuità eliminabile

   f(x) = { sin x / x   x ≠ 0 5   x = 0}Dom (f) = ℝ

   lim_x→0 (sin x / x) = 1 ≠ f(0) = 5   f non è continua in x = 0

2)

lim_x→x0^- f(x) = l₁ <∞

lim_x→x0⁺ f(x) = l₂ <∞

lim_x→x0 f(x)

ex.

f(x) = sgn(x) = { 1 x>0

0 x=0

-1 x<0

{ x/x x≠0

0 x=0

lim_x→0⁺ f(x) ≠ lim_x→0^- f(x)

3)

lim_x→x0^- f(x) <∞

lim_x→x0⁺ f(x) = +∞

lim_x→x0 f(x) = ±∞

f(x)=k

lim_{x →x0} 1/x

Teorema di permanenza del segno

f definita in un intervallo aperto

x₀ punto nell'intervallo, f continua nell'intervallo

1. se f(x₀) > 0 ⇒ ∃δ > 0 t.c. f(x) > 0 ∀x ∈ (x₀ - δ, x₀ + δ)
2. se f(x₀) < 0 ⇒ ∃δ > 0 t.c. f(x) < 0 ∀x ∈ (x₀ - δ, x₀ + δ)

Teorema degli zeri

f : [a,b] → ℝ

f continua

f(a) · f(b) < 0

⇒ ∃ x₀ ∈ (a,b) t.c. f(x₀) = 0

Dim.

metodo di bisezione

f(a)

a

b

x

Due possibilità:

1. f(c) = 0 ⇒ x = c fine
2. f(c) ≠ 0

f(c) > 0

f(c) < 0

f(c) < 0

Se f(c) > 0 considero l'intervallo [a₁,b₁] dove a₁ = a b₁ = c e abbiamo f(a₁)·f(b₁) < 0

Se f(c) < 0 considero l'intervallo [a₁,b₁] dove a₁ = c b₁ = b e abbiamo f(a₁)·f(b₁) < 0

Quindi ho costruito un intervallo [a₁,b₁] ⊆ [a,b] t.c. f(a₁)·f(b₁) < 0 e b₁-a₁ = b-a/2 (ampiezza dimezzata)

Ripeto il ragionamento su [a₁,b₁] definisco c₁ = b₁+a₁/2 fino ad avere f(c_n) = 0

Iterare il procedimento n volte ottenendo 3 successioni:

C_n = _{an + bn}/², | re {f(C_n)} > 0 => a_n+1 = a_na_n+1= C_n | || re {f(C_n)} < 0 => a_n+1 = C_n