Esercizi di Fisica 2 sull'elettromagnetismo

Problema 20. Filo e dipolo

In un dipolo elettrico di momento di dipolo p la distanza fra le due cariche è 2a = 3.2 cm. Il dipolo è posto accanto ad un filo rettilineo–8× C/m ed è orientato parallelamente al filo, infinito su cui è distribuita uniformemente una carica elettrica con densità lineare λ = 5.6 10 –7× C in un punto P situato col suo centro O posto ad una distanza r = 50 cm dal filo stesso.

Ponendo una carica di prova q0 = 3 10 sulla retta che congiunge le due cariche del dipolo, ad una distanza d = 28 cm dal suo centro, nella direzione della carica negativa, si–3 riscontra che la forza elettrostatica esercitata su di essa ha modulo F = 10 N.

Calcolare 1) il modulo p del momento di dipolo. In seguito la carica di prova viene spostata da una forza esterna fino al punto O. Calcolare 2) il lavoro speso dalla forza esterna nello spostamento.

  12 2 1 2ε0     8.8542 10 C N m  8 1λ       a 1.6 cm R 50 cm 5.6 10 C m 3 7      d 28 cm F 10 N q0 3 10 C

In P i campi prodotti dal filo Ef e dal dipolo Ed sono perpendicolari:

λ 2 2 3 1      = =F q0 E E Ef Ed Ef Ef 2.013 10 V mπ ε0  2 R

2F 2 2 2 2 2 3 1         =F q0 Ef Ed Ed Ef E Ef Ed Ed 2.657 10 V m2q0

3 1   E 3.333 10 V mπ ε0   1 1 4 Ed

1   =Ed q q π ε0  7   14 12 2   q 1.007 10 C   ( d a ) ( d a )  2 2  ( d a )( d a )

 9      p 2 a q p 3.223 10 C m

Il lavoro della forza esterna Wext e' uguale alla differenza di energia potenziale elettrostatica. Per calcolarla pero' tengo conto solo del potenziale del dipolo, perchè per calcolare la differenza di potenziale posso scegliere uno spostamento lungo una traiettoria parallela al filo stesso in cui il campo del filo è sempre perpendicolare allo spostamento e lungo il quale il lavoro associato alla forza elettrostatica esercitata dal filo e' nullo.

Quindi, detti Vo e Vp il potenziale del dipolo nel punto O e P rispettivamente:

1 q q     = =Wext q0 ( Vo Vp ) Vo Vo 0 Vπ ε0   4 a a

1 q q  4          Vp Vp 370.725 volt Wext q0 ( Vo Vp ) 1.112 10 Jπ ε0     4 d a d a

In alternativa per calcolare Vp si puo usare la formula del potenziale del dipolo. Nel punto P abbiamo r = d e θ = 180 deg. Si ottiene

θ p cos( ) p  4θ        =V( r ) Vp 369.514 V Wext q0 ( Vo Vp ) 1.109 10 J2 2π ε0 ε0   4 r 4π d

Che e molto simile a quanto ottenuto con la formula esatta usata in precedenza.

Piano & anello

Un sistema elettrostatico è costituito da un piano infinito uniformemente carico con una densità superficiale di-7 carica σ e da un anello di raggio R = 20 cm, uniformemente carico con una carica Q = 2 × 10 C, disposto parallelamente al piano infinito, ad una distanza d = 75 cm dal piano stesso.

Sapendo che nel punto P posto sull'asse dell'anello dalla parte opposta al piano e alla distanza L = 15 cm dal centro O dell'anello, il campo E è nullo, calcolare 1) il valore e il segno della densità superficiale di carica σ.

Successivamente una piccola particella-4 -9 carica, di massa m = 10 g e carica q = 10 C, inizialmente ferma nel centro O dell'anello, e' lasciata libera di muoversi. Calcolare 2) il modulo dell'accelerazione iniziale della particella e 3) la velocità della particella quando raggiunge la superficie del piano.

  12 1 4ε0      8.854 10 F m m0 10 gm 7    