Esercizi di Fisica 2 sull'elettromagnetismo

Problema 1.10 p. 24

Due sferette di massa M₁ = M₂ = M = 20 g e carica q₁ = q e q₂ = 2q rispettivamente, sono appese a due fili di lunghezza L = 120 cm, che formano all'equilibrio due angoli θ₁ e θ₂ molto piccoli con la verticale. Calcolare a) il rapporto θ₁/θ₂. Se la distanza fra le sferette all'equilibrio è r = 10 cm, calcolare b) il valore di q.

 12 1   8.854 10 F mε₀  2  g 9.8 m s M 20 gm r 10 cm L 120 cm

Alla prima domanda si può rispondere immediatamente in base a considerazioni di simmetria. Infatti, dato che le masse M₁ e M₂ sono uguali, sono uguali anche le due forze peso. Inoltre, benché le cariche di destra e sinistra siano diverse, per la terza legge della dinamica le forze elettrostatiche F₁ e F₂ sono uguali e opposte. Nel sistema c'è quindi perfetta simmetria rispetto alla verticale per P e di conseguenza i due angoli θ₁ e θ₂ sono uguali. Di conseguenza le due masse si trovano alla stessa altezza e il segmento r che le congiunge è orizzontale. Il fatto invece che i due angoli θ₁ e θ₂ sono piccoli autorizza a identificare sin(θ) e tan(θ) con θ.

Per risolvere formalmente il problema osserviamo che ciascuna delle due sferette è in equilibrio sotto l'azione della forza peso e della forza elettrostatica dovuta all'altra sferetta. Dette F₁ e F₂ i moduli delle due forze elettrostatiche, dal diagramma in figura segue che

F₁ F₂tan(θ₁) tan(θ₂) = = = =  M g M g

Dalla legge di Coulomb e anche dalla terza legge della dinamica risulta che F₁ = F₂. Allora dovrà essere θ₁ = θ₂.

Quindi i due angoli sono uguali. Inoltre, identificando sin(θ₁) con θ₁ possiamo scrivere:

r  2.4 degθ₁ θ₁2 L

Il che conferma che i due angoli sono piccoli. Adesso usando la legge di Coulomb si può calcolare q:

22 q₁  3     F₁ F₁ M g F₁ 8.167 10 N= θ₁ 4 2π ε₀ r 22 q₁ 2 8           M g q 2 M g r q 6.74 10 C=θ₁ π ε₀ θ₁ 4 2π ε₀ r

Quattro cariche da assemblare (Problema 2.6 p. 53)

Due cariche positive uguali di valore q = 10^-9 C sono mantenute fisse ad una distanza a = 5 cm; esse sono molto lontane da un'altra coppia di cariche negative uguali di valore opposto -q = -10^-9 C mantenute anch'esse a distanza d = 5 cm. Calcolare il lavoro W che le forze elettrostatiche compiono per avvicinare le due strutture in modo da formare il quadrato mostrato in figura.

  12 2 1 2    ε₀ 8.854 10 C N m 9 q 10 C a 5 cm

Un modo semplice di risolvere il problema è quello di osservare che, nella situazione finale in genere la distanza fra cariche di segno opposto è minore rispetto alla situazione iniziale. Quindi è presumibile che il moto delle cariche per passare da una situazione all'altra venga favorito dalle forze elettrostatiche del sistema. Allora se le cose stanno così, il sistema può passare dalla situazione iniziale a quella finale "spontaneamente" e il lavoro necessario per spostare le cariche è ottenuto a spese dell'energia elettrostatica del sistema nella situazione iniziale.

Quindi il lavoro compiuto dalle forze elettrostatiche per avvicinare le cariche è pari all'opposto della differenza fra l'energia elettrostatica Ue del sistema di cariche nella situazione finale e quella iniziale. Per calcolarlo scriviamo l'energia elettrostatica totale del sistema di cariche nelle due situazioni iniziale e finale. Numerando le cariche positive 1 e 2 e le negative 3 e 4, con quattro cariche ci sono 6 coppie distinte (12, 13, 14, 23, 24, 34) e quindi l'energia elettrostatica U per sei coppie in generale si scrive (in g