Appunti elettromagnetismo lezione 2

Rappresentazione grafica dei campi

Per la rappresentazione grafica dei campi è usuale la convenzione delle linee di forza. Le linee di forza sono linee a cui il flusso in ogni punto del campo è tangente allo stesso. Inoltre, in ogni sezione il campo viene disegnato con un numero di linee di forza tale che la loro densità sia proporzionale all'intensità del campo.

• Q è positiva: il campo si dice che è uscente dalla carica.
• Q è negativa: il campo si dice che è entrante nella carica.

23/09/2016

Campo elettrico

Riprendendo dalla definizione di campo elettrico, che è definito come la perturbazione dello spazio creato da una o più cariche a cui rispondono altre cariche, abbiamo definito operativamente riprendendo una carica puntiforme _Q(1) _Q(2).

Il campo creato da questa carica lo descrivo a partire dalla legge di Coulomb esercitata su una carica q che, chiamando carica di prova, posso misurare la forza che agisce sulla carica q; divido per la carica q e ottengo il risultato che non dipende dalla carica di prova.

F_1,2 = \(\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q_1 Q_2}{z_{1,2}^2}\)

E_1,2 = \(\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{z_{1,2}^2}\)

La forza va come 1/z², è attrattiva se le due cariche hanno segno opposto e repulsiva se le due cariche hanno lo stesso segno: attrattiva.

N.b. La carica q non deve perturbare la carica Q che crea il campo; per questo si definisce il campo come:

E = lim _q->0 \(\frac{F_q}{q}\)

E = \(\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{z^2}\)

[E] = Volt/m

Campo elettrico generato da un sistema di cariche

Per la rappresentazione grafica dei campi è usuale la convenzione delle linee di forza. Le linee di forza sono linee a flusso in ogni punto del campo e tangente ad ogni linea di forza; inoltre, in ogni regione il campo viene disegnato un numero di linee di forza tale che la loro densità sia proporzionale all'intensità del campo.

• Q è positiva: il campo si sa dice che si usa carica Q.
• Q è negativa: il campo si dice che si entrare nella carica.

23/09/2016

Riprendendo dalla definizione di campo elettrico che è definito come la perturbazione dello spazio creato da una o più cariche ai cui presenti carico Q(1) Q(2). Il campo creato da questa carica lo descrivo a partire dalla legge di Coulomb esercitata su una carica q che, chiamata carica di prova, possiamo misurare la forza che agisce sulla carica q; divido per la carica q ottengo un risultato che non dipende dalla carica di prova.

F₁₂ = ¹/_4πɛ0 Q₁Q₂/z²₁₂ = ¹/_4πɛ0 Q₂ Q₁z₁₂

La forza va come 1/z², è attrattiva se le due cariche hanno segno opposto, è repulsiva se le due cariche hanno lo stesso segno: attrattiva.

N.B. La carica q non deve perturbare la carica Q che crea il campo, per questo si definisce il campo come:

E = lim F_q/q = E = ¹/_4πɛ0 Q/z³

[E] = Volt/m

Principio di sovrapposizione

Si supponga di avere due cariche fisse _q1 e _q2 su un solido: sperimentalmente si verifica che, dato, la forza subita dalla carica q è pari alla somma vettoriale delle forze di Coulomb esercitate su q singolarmente da q1 e da q2.

Il campo elettrico E(z) generato nella posizione z da q di un sistema costituito da due cariche q1 e q2 è rappresentato dalla somma vettoriale dei campi elettrici generati in z da q1 e q2. Questo risultato è detto principio di sovrapposizione per il campo elettrico.

E(z) = E₁(z) + E₂(z) = 1 / (4πɛ₀) * Q₁ / (z - z₁)² + 1 / (4πɛ₀) * Q₂ / (z - z₂)²

In generale:

E(z) = 1 / (4πɛ₀) Σ Q_i / (z - z_i)²

Esempio di due cariche sullo stesso asse

Ex. Verificato il caso di due cariche poste sullo stesso asse di simmetria, calcolare rispetto dell’origine: -q /2 ———9——— q/2.

Ex = (o, o, o)

E₁ = (d, o, o)

E₂ = (q/2, o, o)

E₁ = (q/2, o, o)

∥z₁ - z₂∥ = (q/2, o, o)

X ————— P→ (q, o, o) => E_x = E_1x + E_2x = 1 / (4πɛ₀) * q / (d² + q² / 4)^3/2 = q_x

E_x = E_1x + E_2x² => E_y = E_1y + E_2y = 1 / (4πɛ₀) * q / (d² + q² / 4)^3/2 = q_x^{-q /2}

E_z = E_1z + E_2z = q / 4πɛ₀ (d² + q² / 2)^3/2

Potendo calcolare anche le componenti del campo:

Σθ = q / (d² + q² / 4) => E = −q / 4πɛ₀ (1⁻²/ (2/3)^χ)

Dipolo elettrico

Il sistema di due cariche uguali ed opposte poste ad una certa distanza è chiamato dipolo elettrico e il prodotto della carica q per la distanza tra le cariche si chiama momento di dipolo.

qℓ = momento di dipolo

Il campo elettrico è proporzionale al momento di dipolo del sistema di due cariche.

Vettore sopra lo stesso sistema ma in cui il punto P è sullo stesso asse delle cariche.

E ⇒ _-q/2 q/2 ⇒ q − q

E ⇒ -q 9 q

E ⇒ E = 9[ 1 1 ] = q[ 2q x ] 4πɛ0 (x - a/2)² (x + a/2)² 4πɛ0 (x² - a/4)²

Dove p = Qℓ, momento di dipolo.

Il campo elettrico a grandi distanze va come 1/x³.

Distribuzione di carica

La carica può essere all'interno di un certo volume; ad esempio, se voglio sapere il numero di elettroni in un cm³ di rame.

n_e/cm³ _ATOMO ATOMI MOLI g 2 N_e 6 ≁ 2,7 · 10⁴ cm³ cm A A

Prendendo un volumetto dτ e vediamo la carica dq contenuta all'interno. Quindi possiamo introdurre il concetto di distribuzione di carica descritto da una densità spaziale di carica ρ, definita dalla relazione:

dq = ρ(x,y,z) dI

Dove dI = dx/dy/dz è l'elemento di volume attorno alle coordinate x, y, z.

dq è la carica contenuta in tale elemento di volume.

ρ(x,y,z) = densità volumetrica di carica; essa è una funzione fortemente variabile nello spazio e nel tempo.

Assendo dN/da ≁ zero, dà valori abbastanza grandi nelle posizioni dove te degli elettroni, il nulla negli spazi interpenetrazioni. Essa quindi:

dρ = ldI. Considerando una distribuzione di carica continua che occupa le posizioni di spazio z, il campo elettrico E nel punto P di posizione x si ottiene:

E = 4πɛ₀[ ρ(x,y,z’)(z’ - z’)]√[(x-x’)²+(y-y’)²+(z-z’)²]^3/2 ] dz’ dy dz’

Dove x, y, z sono le coordinate dell'elemento di volume di q.

Capita spesso che le cariche siano distribuite localizzate in una regione tridimensionale; per definire un dominio godale ddn approssimato da una superficie, distribuzione superficiale, o da una linea, distribuzione lineale, in questi casi conviene introdurre la densità superficiale:

dq = (x,y,z)dS

dq = (x,y,z)dl

Distribuzione di carica lineare: filo indefinito

Ex. Distribuzione di carica lineare, filo indefinito, conti di carica uniforme.

dq = dx. Dobbiamo vedere quali componenti abbiamo, quali sono nulle. Posso scegliere l'ordine dove socio no perché il filo è indefinito e la distribuzione di carica è uniforme; non ha la componente verticale.

A dq – dq simmetrico che crea un campo elettrico uguale ed opposto che annulla la componente verticale riguardo di un ordine e passa sul filo. Ci viene creato solo sulla componente orizzontale.

E = 1/4 ( ) ridv 2 z oppure 1 ( ) e ex/cos p dx / x x z = t cotesq E 1 lme bos che ogio ld E /-( tcos coses i t aola0.

Il campo va come 1/Ex.

Distribuzione di carica lineare su un anello

λ è uniforme.

Nel punto diametralmente opposto di dq, i due campi generati si annullano ⇒ il campo non ha componente orizzontale.

Se ruoto tutte le componenti ortogonali dell'asse sono a due a due nulle.

Devo considerare solo la componente verticale.

dq = λ de. E = λR dφ. dq = λR dφ.

E_z = ∫ dE cosθ = 1/4πɛ₀ ∫ λR dφ / (R² + z²)^3/2 = λR/4πɛ₀ ∫^2π₀ z dφ / (z² + R²)^3/2

Vedere cosa succede quando il punto in cui voglio calcolare il campo: z >> R ≍ λR/3ɛ₀ = 1/z² = λ2πR/4πɛ₀ = Q/4πɛ₀ 1/z², come se tutta la carica fosse concentrata nel centro dell'anello.

Distribuzione di carica superficiale su un disco

Ex. Distribuzione di carica superficiale su un disco.

Le simmetrie sono le stesse del caso dell'anello.

σ = dq/dS

E_z = ∫ dE cosθ = 1/4πɛ₀ ∫ σ dS / (z² + 2z)^3/2

dS = 2π z dφ∅ ∮ z dφ dz = 2π ∫ z dz = πR²

∅ ∮ z dφ dz = _∅∅ => _∅ = ∅SE _∅ == R_:: = 0, z_c = ∅F_E

Dobbiamo sviluppare la funzione simile Δ ( 1 - x² ) = z x ≥ ... ESTRASE _∅ POSTO R² / z = x => E E_2πr∅.

Come se stessa calcolando un campo generato da un campo infinito (_E) = uniforme.

Linee di campo

Linee di campo.

Una curia è una linea del campo (_E) AE1; E.

Se la curia è orientata ci oggetto nei tro è vicio in campo del campo post._INO_1E P esame cer ninja e (_E).