Esercitazione tutoraggio Fisica 1

Compito 21 giugno 2018 (NO UNIFI)

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m = 10 Kg

M = 3.0 Kg

L = 1 m

a) Calcolare la distanza del centro di massa del sistema dall'asse di rotazione.

Considero i C.M. dei due oggetti: calcola x_c.m con media pesata:

X_c.m = (M L/2 + m L)/(M + m)

d_O-xcM = X_c.m - X_O = (M L/2 + m L)/(M + m) - L/4 =

= (2LM + 4lm - LM - Lm) / (4(m+M)) = (LM + 3Lm) / (4(m+M)) = 37,5 cm

b) Momento di inerzia rispetto a O

Momento di inerzia totale: I_O = I_sb,O + I_sfera,O

I_sfera,O = m d_O,S² = m (3/4 L)² = 9/16 mL²

I_sb,O = I_H-SC.M + M(L/4)² = 1/12 ML² + 1/16 ML² = 7/48 ML²

I_O = (7M + 27m)/48 L² = ... = 1.0 kgm²

c) L'asta viene lasciata libera di ruotare: calcolare la max velocita (w) raggiunta

E_c = 1/2 Iw²      U = (M + m)g y_c.m

L'unica forza che compie lavoro e la forza peso, che e conservativa, perci: Del E_c = - Del U

La max E_c (e dunque velocita angolare) si ha quando U e minima (ovvero e minima y_c.m).

Ovvero, la barra e verticale:

d_cm,0 calcolata nel punto a

=D ΔE_c = 1/2 I w_max² = (M + m) g d_cm,0

w_MAX^? = sqrt((2 g d_cm,0 (M + m)) / I) = 5.5 rad/s

COMPITO (16/12/21)

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densita di massa puleggia = p

1) Calcolare il momento di inerzia della puleggia

M_r = pi r² l/2 p ; M_R = pi R² l/2 p

M = M_r + M_R = pi l/2 p (r² + R²)

p = 2M / pi l (r² + R²)

Momento di inerzia di un cilindro.

I = 1/2 M R² = 1/2 (pi R² p h) R² = 1/2 pi p h R⁴

Nel nostro caso h = l/2 e R = R o R = r.

I_r = 1/2 pi p l/2 r⁴ = 1/4 pi p r⁴ 2M / pi l (r² + R²) = 1/2 M r⁴ / (r² + R²)

I_R = 1/2 M R⁴ / (r² + R²)

I_tot = I_r + I_R = 1/2 (r⁴ + R⁴)/(r² + R²) M

2) Il range di t entro il quale il sistema rimane in equilibrio:

1) T₁ = f_s ≤ mu m₁g (mu N) (0 ≤ f_s ≤ mu m₁g)

2) T₂ = m₂g

t deve bilanciare i due contributi dati da T₁ e T₂

t = - r₄ T₁ - R T₂ = -r f_s - R m₂g

|t| = r f_s + R m₂g

|t_min| = R m₂g

|t_max| = r mu m₁g + R m₂g

3) Sia z = zmax, determiniamo a1 e a2 di m1 e m2

(1) m1 a1 = T1 - fd = T1 - mu m1 g

(2) m2 a2 = m2 g - T2

Puleggia: I a = 3 zmax + T1 r + T2 R (zmax < 0)

Colleghiamo le accelerazioni a1 e a2 con a:

a1 = - a r

a2 = a R

Riscriviamo le equazioni

- m1 a r = T1 - mu m1 g

m2 a R = m2 g - T2

I a = 3 zmax + T1 r + T2 R

T1 = mu m1 g - m1 a r = m1(mu g - a r)

T2 = m2 g - m2 a R = m2(g - a R)

I a = 3 zmax + T1 r + T2 R

I a = 3 zmax + m1(mu g - a r) r + m2(g - a R) R

Ix = -3Rm₂g - 3rμm₁g + m₁(μg - αr)r + m₂(g - αR)R

Ix + m₁αr² + m₂αR² = m₁μgr - 3m₁gμr + m₂gR - 3m₂gR

α (I + m₁r² + m₂R²) = -2(m₁μr + Rm₂)g

α = -2g Rm₂ + rμm₁/ I + m₁r² + m₂R²

α₁ = -αr = 2gr Rm₂ + rμm₁/ I + m₁r² + m₂R²

α₂ = αR = -2gR Rm₂ + rμm₁/ I + m₁r² + m₂R²