Esercizi con soluzione di Algebra e geometria lineare

ESERCIZIARIO

ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E

GEOMETRIA

1

INDICE

1. Vettori 3

2. Rette e piani 4

3. Matrici e sistemi lineari 17

4. Spazi vettoriali 37

5. Applicazioni lineari 52

6. Diagonalizzazione e matrici simmetriche 67

7. Coniche 83

2 CAPITOLO 1

VETTORI

Esercizio 1 Dati u e v calcolare w

u e w sono ortogonali?

Soluzione

u

w = 8 + 4 + 1 = 13 non ortogonali

Per esercizio, provare ad usare anche la definizione “trigonometrica” di prodotto scalare ∠

Esercizio 2 Come sono fatti i vettori ortogonali u ? E quelli ortogonali a v ?

E quelli ortogonali sia ad u che a v?

Soluzione

r

Provare ad usare anche la definizione “trigonometrica” di prodotto scalare ∠

Esercizio 3 Dati u e v calcolare

(a)

(b)

Soluzione

(b) e v sono paralleli. Infatti, u

(c) Soluzione standard: e infine

(c) Soluzione smart:

Qualunque w, poiché è ortogonale ad u e anche a v.

Provare ad usare anche la definizione “trigonometrica” di prodotto vettoriale per il modulo e

∠

regola mano destra per direzione e verso)

Esercizio 4 u e w sono complanari?

Soluzione

Sol. smart: Sì, si vede subito, perché la componente lungo k è 0 per tutti e tre.

Sol. standard: Se non si vedesse subito prodotto misto, verificare che è nullo.

3 CAPITOLO 2

RETTE E PIANI

Esercizio 1 Nello spazio con riferimento cartesiano ortogonale si considerino la retta ed il piano

rispettivamente di equazioni

ove Determinare i valori di per cui

e sono incidenti ed, in tal caso, determinare l’angolo da essi formato;

e sono paralleli ed, in tal caso, determinare la distanza dist( fra di loro.

Svolgimento. La retta passa per il punto ed è parallela al vettore Invece è il

piano passante per e perpendicolare al vettore

Allora e sono paralleli se e solo se cio è se e solo se

cio è se e solo se Per ogni altro valore di e risultano essere incidenti.

Calcoliamo dist( tale scopo è sufficiente calcolare dist( per un qualsiasi punto per

esempio Si ottiene

In generale l’angolo formato da e è esattamente Si ottiene

In particolare

Esercizio 2 Nello spazio con riferimento cartesiano ortogonale si considerino le rette ed

rispettivamente di equazioni

(1) Verificare che ed sono sghembe. (2) Calcolare l’angolo che esse formano. (3) Calcolare la distanza

dist( fra di loro.

(4) Determinare la retta di minima distanza.

Svolgimento. Iniziamo ad osservare che ed sono rispettivamente parallele ai vettori e

Di conseguenza ed non possono essere parallele. Concludiamo che ed sono o

sghembe o incidenti in un unico punto: sono sghembe se e solo se Per verificare ciò si osservi che

le equazioni cartesiane di sono 4

Pertanto gli eventuali punti di intersezione di ed corrispondono ai valori di che soddisfano il sistema

ottenuto sostituendo nel sistema precedente, al posto delle variabili, le coordinate del punto generico di Si

verifica facilmente che tale sistema non ammette soluzioni, pertanto ed sono sghembe.

Ricordo che l’angolo fra due rette è, per definizione, l’angolo formato da due qualsiasi vettori ad esse paralleli

ed applicati in Di conseguenza otteniamo che

Per rispondere al quesito (3) osserviamo preliminarmente che e sono tali che dist( ) = dist(

se e solo se la retta passante per ed è simultaneamente perpendicolare ad ed tale retta è

anche la retta di minima distanza.

Possiamo allora procedere in due modi differenti. Un primo metodo è quello di prendere punti arbitrari e

e considerare la proiezione del segmento su Poiché la retta è parallela al vettore

risulta

Un secondo modo, che ci permette anche di risponder al quesito 4), è quello di prendere punti generici

e ed imporre che sia perpendicolare sia a che ad Poiché

si ottiene

Segue il sistema

la cui soluzione è In particolare i punti che realizzano la minima distanza sono

Riotteniamo allora

Questo secondo metodo ha il vantaggio di permetterci di calcolare subito la retta di minima distanza Infatti è

la retta per ed di conseguenza ha equazioni

Esercizio 3 Nello spazio con riferimento cartesiano ortogonale si considerino il punto e la retta

di equazioni 5

(1) Determinare l’equazione del piano per e perpendicolare ad

(2) Determinare le equazioni delle rette per incidenti e che formano con un angolo di radianti.

Svolgimento. è parallela al vettore Di conseguenza deve essere perpendicolare a in

particolare la sua equazione deve essere del tipo ove è un numero tale

che Concludiamo che sicché l’equazione cercata è

Le rette che intersecano sotto un angolo di radianti devono essere contenute nel piano per

contenente In particolare la loro direzione deve essere un vettore parallelo a tale piano e tale che

Iniziamo calcolando l’equazione di Eliminando si verifica facilmente che le equazioni cartesiane di sono

Se è l’equazione di un piano contenente allora il sistema di cui sopra deve essere

equivalente al sistema

In particolare deve accadere che

Concludiamo che i piani che contengono sono tutti e soli quelli aventi equazione della forma

per due valori non contemporaneamente nulli. La condizione di passaggio per conduce

all’equazione

cio è concludiamo che il piano deve avere equazione

è perpendicolare al vettore Segue che i vettori paralleli a sono i vettori della forma

tali che cio è i vettori del tipo

Allora la condizione diviene

Elevando al quadrato ambo i membri, con semplici passaggi algebrici, otteniamo

le cui soluzioni sono

In particolare le equazioni parametriche delle rette cercate sono

6

Esercizio 4 Nello spazio con riferimento cartesiano ortogonale si considerino le rette ed

rispettivamente di equazioni

ove Studiare le posizioni relative di ed al variare del parametro

Svolgimento. In sostanza si deve descrivere l’insieme delle soluzioni del sistema

al variare di Prendiamo in esame la matrice completa del sistema:

Ciò significa che la matrice incompleta ha sempre rango mentre la matrice completa ha

rango se e solo se se

In particolare il sistema ammette un’unica soluzione se e solo se di conseguenza, in questo caso, ed

sono incidenti e complanari: il punto d’intersezione lo si ottiene risolvendo il sistema originale o, più

semplicemente, quello ottenuto considerando la matrice ridotta per righe, cio è

In particolare ed si intersecano in

I piani contenenti hanno equazione del tipo al variare di

non contemporaneamente nulli. Per individuare quello che contiene anche imponiamo il passaggio

per un punto di non su per esempio Si ottiene allora di conseguenza il piano

cercato ha equazione

Il sistema non ammette soluzione se Si noti che due vettori paralleli, rispettivamente, alle rette ed

sono 7

Tali vettori non sono mai paralleli. Infatti, con operazioni elementari di riga sulla matrice avente per righe le

componenti di e si ottiene

chiaramente per ogni Di conseguenza ed sono sghembe per

Esercizio 5 Nello spazio con riferimento cartesiano ortogonale si considerino il punto ed il

piano di equazione

(1) Verificare che

(2) Determinare le sfere di raggio 6 tangenti a in

(3) Determinare il luogo dei centri delle sfere che sono tra loro tangenti in

Svolgimento. Si ottiene sicché

Chiaramente i centri delle sfere cercate appartengono alla retta per e perpendicolare ad Un vettore

ortogonale ad è Di conseguenza ha equazioni

Il punto generico di è Affinché sia centro di una delle sfer cercate occorre e basta

che dist( ossia

Con semplici calcoli algebrici si verifica che deve essere 6. Concludiamo che i centri delle sfere sono

Le corrispondenti sfere ed sono quelle di equazione

Per quanto riguarda il quesito (3), il luogo cercato è proprio la retta Infatti se due sfere sono fra loro tangenti

in allora devono avere lo stesso piano tangente in cio è di conseguenza il loro centro appartiene alla

retta perpendicolare ad passante per ovvero Viceversa se scelgo un punto su e se : = dist(

allora la sfera di centro e raggio è tangente ad in

Esercizio 6 Nello spazio con riferimento cartesiano ortogonale si considerino i punti e

Determinare l’equazione della circonferenza Γ passante per e ed avente centro sull’asse delle

Svolgimento. Il centro di Γ deve appartenere al piano assiale del segmento cio è al piano

perpendicolare al segmento e passante per il suo punto medio Risulta che ed un vettore

parallelo a è perciò ha equazione

D’altra parte, per ipotesi, giace sull’asse delle di conseguenza le sue coordinate devono risolvere il

sistema 8

da cui segue :

Il raggio di Γ è = dist( 11. Γ giace inoltre sul piano individuato dai punti ed è contenuta

nella sfera di centro e raggio perciò Γ = Il piano ha equazione

ha equazione

Di conseguenza Γ ha equazioni

Quiz 1 Nello spazio con riferimento cartesiano ortogonale si considerino la retta ed il piano

rispettivamente d’equazioni

Quale delle seguenti affermazioni è vera?

a) è parallelo ad

b)

c) Un vettore ortogonale ad è

d) interseca

Svolgimento. Iniziamo ad osservare che un vettore parallelo ad è mentre un vettore

ortogonale ad è in particolare

L’affermazione a) è falsa. Infatti ed sono paralleli se e solo se e sono perpendicolari ovvero se e solo

se in contrasto con quanto osservato sopra.

L’affermazione b) è falsa. Infatti se allora dovrebbe essere parallelo ad cosa che abbiamo già

dimostrato essere falsa. Per verificarlo direttamente si osservi che (si prenda ma

(infatti 1 + 0 + 2 + 1

L’affermazione c) è falsa. Infatti di conseguenza non è perpendicolare a bensì paralelo.

L’affermazione d) è vera. Infatti un piano ed una retta sono o paralleli o incidenti. Per verificarlo direttamente

calcoliamo le coordinate del punto tale scopo risolviamo l’equazione

ottenuta sostituendo nell’equazione di le coordinate del punto generico di Risulta che

corrisponde al punto

Quiz 2 Nello spazio con riferimento cartesiano ortogonale si considerino i piani e rispettivamente

d’equazioni

Sia poi l’angolo fra e Quale delle seguenti affermazioni è vera?

9

a) b) c)

d)

Svolgimento. Si osservi che i vettori perpendicolari rispettivamente ai piani e sono tutti e soli quelli

proporzionali a

Segue che

Concludiamo che l’affermazione d) è vera, mentre le affermazioni a), b), c) sono false.

Quiz 3 Nello spazio con riferimento cartesiano ortogonale si considerino il punto ed il piano

d’equazione Quale delle seguenti affermazioni è vera?

a) dist( 3.

b) Il punto simmetrico a rispetto al piano è

c) Un vettore parallelo a è

d) La proiezione ortogonale di su è

Svolgimento. L’affermazione a) è vera. Infatti

L’affermazione b) è falsa. Infatti il simmetrico a rispetto al piano è il punto appartenente alla retta

ortogonale ad passante per Si osservi che non è perpendicolare ad (i vettori

perpendicolari ad sono tutti e soli quelli paralleli a di conseguenza

Determiniamo il simmetrico di rispetto a ha equazioni

è il punto di distinto da ed avente distanza da pari a dist( dist( Allora corrisponde al

valore del parametro tale che

Essendo un’equazione fra quantità positive è sufficiente elevare al quadrato: con le dovute semplificazioni si

ottiene pertanto l’unica soluzione accettabile è corrispondente al punto

L’affermazione c) è falsa. Infatti è ortogonale ad

L’affermazione d) è falsa. Infatti è il punto d’intersezione della retta per perpendicolare ad con il piano

Le equazioni di sono state calcolate sopra, di conseguenza corrisponde al valore del parametro

soluzione dell’equazione

ovvero corrispondente al punto

Quiz 4 Nello spazio con riferimento cartesiano ortogonale si considerino le rette ed rispettivamente

d’equazioni 10

Quale delle seguenti affermazioni è vera?

a)

b) ed sono parallele.

c) Non esiste nessun piano per contenente

d) Nessuna delle precedenti affermazioni è vera.

Svolgimento. L’affermazione a) è falsa. Infatti si verifica per sostituzione che ma di conseguenza

L’affermazione b) è falsa. Infatti si osservi che delle equazioni parametriche per ed sono rispettivamente

Di conseguenza è parallelo ad è parallelo ad D’altra parte e non sono

l’uno multiplo dell’altro, di conseguenza le rette ed non sono fra loro parallele.

Un altro modo per ottenere i vettori e è il seguente. Si ottiene ove e sono i piani

rispettivamente di equazione

Allora e sono perpendicolari ad ed Segue che

è parallelo ad In maniera analoga si può procedere con

L’affermazione c) è vera. Infatti, per quanto visto sopra, ed non sono parallele, pertanto o sono complanari o

sono sghembe. Determiniamo a tale scopo sostituiamo le coordinate del punto generico di nelle

equazioni di Otteniamo le equazioni

che si vede facilmente non avere nessuna soluzione comune: in particolare ed sono sghembe. Per

esclusione l’affermazione d) è falsa.

Quiz 5 Nello spazio con riferimento cartesiano ortogonale si consideri la sfera d’equazione

Quale delle seguenti affermazioni è vera?

a) è una sfera di raggio immaginario.

b) è tangente al piano di equazione in

c) ha centro

d) contiene una circonferenza di raggio 2.

Svolgimento. Iniziamo con l’osservare che ha centro e raggio

L’affermazione a) è falsa. Infatti il raggio è

L’affermazione b) è vera. Infatti in quanto manca il termine noto nell’equazione di In tale caso

ol’equazione del piano tangente ad in è ottenuta eguagliando a zero il complesso dei termini di grado 1: in

questo caso In generale ricordo che l’equazione del piano tangente alla sfera di centro nel

suo punto è 11

nel nostro caso si ottiene ancora

L’affermazione c) è falsa. Infatti il centro è

L’affermazione d) è falsa. Infatti una circonferenza Γ in è intersezione di un piano con In particolare, per

il teorema di Pitagora, il raggio di Γ è ove dist( seque che Questo è

un fatto del tutto generale: il raggio di una circonferenza Γ contenuta in una sfera di raggio soddisfa

e vale l’eguaglianza se e solo se il piano della circonferenza contiene il centro di

Quiz 6 Nello spazio con riferimento cartesiano ortogonale si considerino la sfera ed il piano

rispettivamente d’equazioni

Quale delle seguenti affermazioni è vera?

a) è esterno ad

b) è tangente ad in

c) Γ: = è una circonferenza di centro

d) Nessuna delle risposte precedenti è corretta.

Svolgimento. Iniziamo ad osservare che ha centro 0) e raggio Inoltre dist(

2.

L’affermazione a) è vera. Infatti dist( di conseguenza interseca lungo una circonferenza di raggio

immaginario.

L’affermazione b) è falsa. Infatti e di conseguenza ed non possono essere tangenti fra loro in

d’altra parte è esterno ad di conseguenza ed non sono tangenti in nessun punto. L’affermazione c)

è falsa. Infatti il centro di Γ è l’intersezione della retta per perpendicolare ad con il piano stesso. Un

vettore perpendicolare ad è di conseguenza le equazioni parametriche di sono

In particolare corrisponde al valore di soluzione dell’equazione

di conseguenza da cui

Per esclusione l’affermazione d) è falsa.

Esercizio 7 Data la retta in R2, trovare:

1. a sua equazione parametrica;

2. le equazioni (parametriche e cartesiane) di tutte le rette ad essa perpendicolari;

3. la distanza di dal punto

Soluzione

Ci sono diversi modi per trovare un’equazione parametrica da quella cartesiana. Per esempio: pongo e

noto che di conseguenza In conclusione:

Le rette parametriche perpendicolari a sono tutte le rette del tipo

12

La distanza tra un punto e una retta si può calcolare con la formula

Di conseguenza

Esercizio 8 Trovare l’equazione cartesiana del piano passante per e

L’equazione del piano è di conseguenza

Esercizio 9 Scrivere il piano in forma parametrica.

Soluzione

Visto che e sono libere, scelgo per esempio e e ottengo

Esercizio 10 I piani e si intersecano? Se si, scrivere un’equazione

dell’intersezione.

Soluzione

L’intersezione tra due piani può essere: insieme vuoto se i piani sono paralleli; un piano se i piani sono

coincidenti: una retta.

Questi due piani non sono paralleli, perché non sono paralleli i loro vettori normali: non è parallelo a

Di conseguenza non sono nemmeno coincidenti.

La loro intersezione è di conseguenza una retta.

Per trovare la retta di intersezione, provo a risolvere il sistema: sommando le due equazioni trovo 5 = 5, di

conseguenza la retta di intersezione è E’ corretto questo ragionamento? Assolutamente NO!

Perché, come abbiamo già notato prima, in R3 non rappresenta una retta! Sommare i due piani non

ci serve a nulla (non ottengo l’equazione di qualcosa), né ci serve provare a risolvere il sistema. La retta non

può essere scritta con una sola equazione cartesiana in R3, dobbiamo accontentarci di scrivere:

o equivalentemente:

Se vogliamo un’equazione sola, possiamo ricorrere alla forma parametrica.

Per esempio, pongo Ottengo di conseguenza da cui:

Esercizio 11 Calcolare la posizione reciproca e la distanza tra e

Soluzione 13

Modo 1: parametrizzo Pongo e ottengo Noto che e sono

parallele, perché lo sono e Per calcolare la loro distanza, basta prendere un qualsiasi punto di

(scelgo, per esempio, l’origine e calcolarne la distanza da con la formula punto-retta. Prendo un

punto qualsiasi di per esempio 0) e calcolo:

Modo 2: Potevamo calcolare la distanza facilmente anche usando le equazioni cartesiane.

Le distanza tra le due