Appunti completi di Algebra e geometria lineare

DISPENSE

ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA

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INDICE

1. Vettori 3

1.1 Definizione e caratteristiche di un vettore. Vettori particolari 3

1.2 Somma di vettori 3

1.3 Prodotto di uno scalare per un vettore 3

1.4 Combinazione lineare 3

1.5 Componenti di un vettore. Versori fondamentali 4

1.6 Prodotto scalare 4

1.7 Prodotto vettoriale 5

1.8 Prodotto misto 5

2. Piani e rette 7

2.1 Piani 7

2.2 Parallelismo tra piani 8

2.3 Rette 8

2.4 Posizioni reciproche 9

2.5 Fasci di piani 10

2.6 Distanze 10

3. Matrici e sistemi lineari 12

3.1 Matrici 12

3.2 Vettori 12

3.3 Somma di matrici. Prodotto di uno scalare per una matrice 12

3.4 Prodotto di matrici 13

3.5 Matrici particolari 13

3.6 Potenza e inversa di una matrice quadrata 14

3.7 Determinanti 14

3.8 Matrici ridotte 15

3.9 Sistemi lineari 15

3.10 Metodo di eliminazione di Gauss 16

3.11 Teorema di Rouchè-Capelli 17

3.12 Matrice inversa 17

4. Spazi Vettoriali Rn 19

4.1 Spazio vettoriale su R 19

4.2 Sottospazi vettoriali 19

4.3 Costruzione di sottospazi vettoriali di Rn 20

4.4 Indipendenza lineare. Base e dimensione 20

5. Operazioni sui sottospazi e spazi vettoriali astratti 21

5.1 Operazioni sui sottospazi. Teorema di Grassmann 21

5.2 Spazio vettoriale astratto 21

5.3 Sottospazi, Span, basi, dimensioni 22

6. Applicazioni lineari e cambiamenti di base 23

6.1 Richiami di Analisi Matematica 1 23

6.2 Applicazioni lineari f: Rn Rm 23

6.3 Nucleo e immagine di un'applicazione lineare f: Rn Rm 24

6.4 Composizione e prodotto di matrici 24

6.5 Applicazioni lineari f: V W 24

6.6 Basi e applicazioni lineari 24

6.7 Cambiamenti di base 25

6.8 Cambiamenti di base e applicazioni lineari 25

7. Autovettori e autovalori 27

7.1 Diagonalizzazione di un enfomorfismo 27

7.2 Ricerca analitica degli autovettori 27

7.3 Diagonalizzabilità di un endomorfismo 28

8. Matrici ortogonali e forme quadratiche 29

8.1 Prodotto scalare 29

8.2 Basi ortonormali 29

8.3 Matrici ortogonali 30

8.4 Matrici simmetriche reali 30

8.5 Metodo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt 30

8.6 Teorema di Cayley-Hamilton 31

8.7 Forme quadratiche 31

9. Equazioni di secondo grado in due o tre variabili 32

9.1 Coniche 32

9.2 Quadriche 34

9.3 Sfere e circonferenze 35

9.4 Circonferenze nello spazio 36

2 CAPITOLO 1

VETTORI

1.1 Definizione e caratteristiche di un vettore. Vettori particolari

Fissato un punto O del piano o dello spazio, si definisce vettore v applicato in O qualsiasi segmento orientato

al variare del punto P nel piano o nello spazio. Il vettore v si può denotare anche

Fissata una unità di misura delle lunghezze, il vettore v è individuato assegnando:

• la direzione (quella della retta passante per O e per P);

• il verso (quello da O verso P);

• il modulo (ossia il numero reale non negativo che esprime la lunghezza del segmento OP rispetto all’unità di

misura fissata).

Due vettori u e v sono uguali se sono uguali in direzione, verso e modulo. Un vettore di modulo nullo si dice

vettore nullo e si indica con 0. Il modulo di un vettore u si indica con

Un vettore u tale che si dice versore; ad ogni è associato un versore cio è un vettore di

modulo unitario con stessa direzione e stesso verso di u.

1.2 Somma di vettori

Dati due generici vettori u e v il vettore somma u + v è il segmento orientato ossia la

diagonale del parallelogramma che ha per lati OP e OQ (regola del parallelogramma); ne segue che il vettore

somma è contenuto nel piano individuato dai due vettori e che vale la diseguaglianza triangolare

Valgono le seguenti proprietà:

• commutativa, u + v = v + u;

• associativa, (u + v) + w = u + (v + w);

• u + 0 =

La somma u si scrive di solito differenza tra due vettori).

1.3 Prodotto di uno scalare per un vettore

Dati u e un numero reale si definisce il vettore come il vettore con stessa direzione di u, stesso verso di u

se verso opposto se e modulo

Tramite il prodotto per scalare, se si può ridefinire il versore caratteristico di un vettore come

Dato u qualsiasi, vale che 0 u = 0. Valgono le seguenti proprietà:

1.4 Combinazione lineare

Dati i numeri reali e i vettori si dice combinazione lineare dei vettori

a coefficienti il vettore 3

1.4.1 Dipendenza ed indipendenza lineare

Dati i vettori essi vengono definiti linearmente dipendenti se uno di essi può essere espresso

come combinazione lineare dei rimanenti, ossia se esistono coefficienti reali non tutti nulli tali che

Si dicono linearmente indipendenti se non sono linearmente dipendenti, ossia se l’unica soluzione

all’equazione è la soluzione banale.

Si esaminano ora tre casi particolari di dipendenza lineare.

Tre vettori u, v e w sono linearmente dipendenti se si può scrivere con almeno un

coefficiente non nullo; risulta che i tre vettori sono complanari.

Due vettori u e v sono linearmente dipendenti se si può scrivere con almeno un coefficiente non

nullo; risulta che i due vettori sono paralleli. Un vettore u è linearmente dipendente se e solo se u = 0.

Quattro vettori u, v, w e t nello spazio sono sempre linearmente dipendenti.

1.5 Componenti di un vettore. Versori fondamentali

Fissato un sistema di riferimento di origine O, ad ogni punto è associato un vettore u

e viceversa ad ogni vettore u è associato un unico segmento orientato di origine O ed estremo

di conseguenza è possibile identificare ogni vettore applicato in O con le coordinate cartesiane del

suo estremo, dette componenti.

In particolare si definiscono i versori fondamentali i e k ovvero versori dello

stesso verso degli assi cartesiani. Risulta che un vettore generico u si può scrivere in modo unico come u

Il modulo può essere ricavato dalle componenti applicando due volte il teorema di Pitagora

Dati u e v si ottiene

Dati e u si ottiene

1.6 Prodotto scalare

Dati due vettori u e v si dice prodotto scalare il numero reale

dove 0 è l’angolo compreso tra u e v.

Valgono le seguenti proprietà:

• commutativa,

• u (v + w) =

Due vettori u e v non nulli si dicono ortogonali se paralleli se

Si possono fare alcune osservazioni importanti:

• se e solo se uno dei due vettori è nullo oppure se i due vettori sono ortogonali tra loro;

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• in particolare vale l’eguaglianza se e solo se i vettori sono paralleli.

Dati u e v si ottiene

1.6.1 Proiezione ortogonale

Dati due vettori u e v, il vettore proiezione ortogonale di v su u è il vettore vu Si ottiene infatti vu

1.7 Prodotto vettoriale

Dati due vettori u e v, si dice prodotto vettoriale il vettore così definito

• ha direzione perpendicolare al piano di dei due vettori;

• il verso di è determinato dalla regola della mano destra, ossia u, v e (in ordine) formano una

terna destrorsa di vettori

• il modulo di è

Dalla definizione segue che il modulo è uguale all’area del parallelogramma avente come lati adiacenti

u e v. Inoltre se n è un versore ortogonale sia a u che v allora Valgono le seguenti proprietà:

• anticommutativa,

Si possono fare alcune osservazioni importanti:

• se e solo se uno dei due vettori è nullo oppure se i due vettori sono paralleli tra loro;

• i versori fondamentali formano una terna ortogonale destrorsa, di conseguenza si ottiene che

e mentre

• in generale non vale una proprietà associativa del prodotto vettoriale.

Dalle proprietà del prodotto vettoriale e dalle osservazioni precedenti e dati u si

ottiene che ossia

anche riscrivibile come

1.8 Prodotto misto

Dati tre vettori u, v e w, si dice prodotto misto il numero reale

Definendo i tre vettori in componenti si ottiene che

Si possono fare alcune osservazioni importanti:

• dalla definizione segue che ) = 0 se e solo se uno dei due vettori è nullo oppure se i tre vettori sono

complanari (e di conseguenza linearmente dipendenti);

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• dati tre vettori linearmente indipendenti, è possibile ricavare l’espressione del vettore proiezione

ortogonale di u sul piano individuato da v e w. Si ottiene che u = , dove è il vettore proiezione

ortogonale di u sulla retta ortogonale al piano Si ottiene pertanto

• il volume del parallelepipedo avente per spigoli i vettori u, v e w è uguale al modulo del prodotto misto.

6 CAPITOLO 2

PIANI E RETTE

2.1 Piani

Per individuare un piano nello spazio si possono assegnare:

a) un punto di e un vettore u ortogonale ad

b) un punto di e due vettori v e w paralleli ad

c) tre punti di non allineati.

Caso (a) ,

Siano ) e u ); se è un generico punto di il vettore ) è parallelo ad e di

conseguenza ortogonale a u.

Si ottiene perciò l’equazione vettoriale

che passando alle componenti diventa

da cui si ricava l’equazione cartesiana del piano

Un piano si rappresenta di conseguenza con un’equazione lineare in e i coefficienti delle incognite sono

le componenti di un vettore ortogonale al piano stesso. Se l’equazione viene moltiplicata per uno scalare non

nullo si ottiene lo stesso piano: non esiste pertanto un metodo univoco per definire il piano.

Caso (b)

È facile ricondursi al primo caso definendo come u il vettore

Si ottiene l’equazione vettoriale come

e l’equazione cartesiana uguale al caso (a). Definendo v e w = si può scrivere che

Avendo definito l’equazione vettoriale come prodotto misto è ora possibile definire il piano con un’equazione

cartesiana in forma matriciale

Caso (c)

Nell’ultimo caso si cerca il piano passante per tre punti non allineati. Basta ricondursi al caso (b) definendo v

e w facile osservare che il piano è parallelo a questi due vettori e di

conseguenza ricondursi alle regole dei casi precedenti per il calcolo del piano.

Si nota che è sempre possibile individuare il vettore ortogonale al piano utilizzando come componenti i

coefficienti dell’equazione cartesiana del piano. 7

2.2 Parallelismo tra piani

Due piani e si dicono paralleli se e solo se i vettori

ortogonali associati ad essi u = e sono paralleli tra loro, ossia se esiste un coefficiente

reale non nullo tale che

Se vale inoltre che allora i piani coincidono.

Se due piani non sono paralleli, ossia se non esiste coefficiente che soddisfa il parallelismo dei vettori

ortogonali, allora si dicono incidenti. Due piani incidenti sono sempre tali che

con retta ottenuta dall’intersezione dei due piani.

2.3 Rette

Per individuare una retta nello spazio si possono assegnare:

a) un punto della retta e un vettore u parallelo ad

b) due piani non paralleli di cui è intersezione;

c) due punti distinti di

Caso (a)

Nel primo caso siano e u

Un punto appartiene ad se e solo se i vettori e u sono paralleli, ossia se e solo se

esiste tale che

relazione detta equazione vettoriale della retta. Si definiscono inoltre u il vettore direttore di e le

componenti i parametri direttori di Dall’equazione vettoriale passando alle componenti si ricavano le

equazioni parametriche della retta

da cui segue

Eguagliando due coppie di tali rapporti si possono ricavare le equazioni di due piani di cui è intersezione; il

sistema lineare

si dice rappresentazione cartesiana della retta nello spazio.

Caso (b)

Nel secondo caso sono dati due piani incidenti e che

hanno intersezione la retta le coordinate dei punti di sono le soluzioni del sistema

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Per ottenere una rappresentazione parametrica di , a partire da quella cartesiana, occorre trovare un punto

della retta (ovvero una particolare soluzione del sistema) e un vettore u parallelo ad essa; per il

vettore basti osservare che i due vettori normali ai rispettivi piani n = e devono essere

ortogonali alla retta e al suo vettore direttore u. Si sceglie pertanto u =

Caso (c)

Nell’ultimo caso si vuole determinare la retta passante per e Si può ricondurre lo

studio al caso (a) cercando la retta passante per uno dei due punti e parallela al vettore

Si ottengono le equazioni parametriche

Quanto visto finora per le rette nello spazio può ripetersi per analogia nel piano, ricordando che nel piano la

scelta del riferimento permette di identificare i vettori applicati nell’origine con coppie ordinate di numeri reali;

per ottenere di conseguenza una rappresentazione parametrica di passante per e parallela a u

basta sopprimere la coordinata z nell’equazione parametrica tridimensionale

dalla quale eliminando il parametro rappresentazione cartesiana della retta nel piano

dove v ) è perpendicolare al vettore u

2.4 Posizioni reciproche

Si riportano le posizioni possibili tra rette e tra rette e piani.

2.4.1 Posizioni tra rette e rette 9

2.4.2 Posizioni tra rette e piani

2.5 Fasci di piani

Date le equazioni di due piani distinti e si parla di

fascio di piani di e l’insieme di tutti i piani individuati da un’equazione del tipo

al variare di

Si può osservare che l’equazione definisce un piano ben preciso a meno di un fattore di proporzionalità per

ogni coppia di valori tramite le variabili Si distinguono due casi:

• se i piani e si intersecano secondo una retta , ogni piano del fascio passa per quella retta. In questo

caso si parla di fascio proprio di piani con asse la retta

• se i piani e sono paralleli, ogni piano del fascio è parallelo ad e e viceversa; in questo caso si parla di

fascio improprio di piani. I piani del fascio sono tutti rappresentati da un’equazione del tipo

al variare di

2.6 Distanze

2.6.1 Distanza tra due punti

Dati due punti e si definisce la loro distanza come

2.6.2 Distanza di punto da un piano

Dato un piano ed un punto la distanza del punto dal piano è la

distanza da dal punto proiezione ortogonale di su

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2.6.3 Distanza di un punto da una retta nel piano

Data l’analogia tra l’equazione di una retta nel piano e quella di un piano nello spazio, con un procedimento

simile al precedente, si ottiene la distanza di un punto da una retta

2.6.4 Distanza di un punto da una retta nello spazio

Dati la retta e il punto la distanza del punto dalla retta può essere determinata con un procedimento che

segue dai precedenti: basta determinare il piano passante per il punto e ortogonale alla retta considerando il

loro punto di intersezione si ottiene infatti

2.6.5 Distanza tra piani paralleli

Per calcolare tale distanza ci si può ricondurre al calcolo della distanza tra un punto ed un piano: dati i piani

paralleli si ottiene che

dove è un punto qualsiasi di

2.6.6 Distanza tra rette sghembe

Date due rette sghembe ed esistono due punti su e su tali che la retta passante per essi è

ortogonale e incidente con entrambe le rette. Il segmento definito è la lunghezza minima tra tutti i segmenti

aventi un estremo su e uno su