Quiz con soluzione Algebra e geometria lineare

Esercizio 1

� (1, � (2, −1, � (−1, � (3,D Si considerino i punti A 1, 1), B 3), C 0, 1), D 3, 3). Quale delle seguenti affermazioni è vera?

• (a) I 4 punti sono complanari
• (b) Il parallelepipedo di spigoli AB, AC, AD ha volume pari a 7
• (c) Il tetraedro da essi individuato ha volume pari a 7�3
• (d) Il tetraedro da essi individuato ha volume pari a 14�3

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Esercizio 1

� (1, � (2, −1, � (−1, � (3,D Si considerino i punti A 1, 1), B 3), C 0, 1), D 3, 3). Quale delle seguenti affermazioni è vera?

• (a) I 4 punti sono complanari
• (b) Il parallelepipedo di spigoli AB, AC, AD ha volume pari a 7
• (c) Il tetraedro da essi individuato ha volume pari a 7�3
• (d) Il tetraedro da essi individuato ha volume pari a 14�3

R (a) I 4 punti sono complanari se e solo se i tre vettori �→ �� �∶= − = − +AB ”B A” i 2j 2k, �→ � �∶= − = −2 −AC ”C A” i j, �→ �� �∶= − = + +AD ”D A” 2i 2j 2k, sono l.d.:

� � � �−2 −2� � � �1 2 1 2� � � �−2 −1 −5→ � → ⇒ = ⇒ ⇒� � � �0 0 4 rank 3 l.i. F� � � � .� � � �2 2 2 0 0 1

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Continuazione: Esercizio 1

R (b) �� ���������������� −2�→ �→ �→ 1 2 ��������������−2 −1(P) = � × ⋅ = = ⇒0vol AB AC AD� 14������ �������� F .�� 2 2 2

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Continuazione: Esercizio 1

R (b) �� ���������������� −2�→ �→ �→ 1 2 ��������������−2 −1(P) = � × ⋅ = = ⇒0vol AB AC AD� 14������ �������� F .�� 2 2 2

(c) 1 7(T ) = (P) = ⇒vol vol V .6 3

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Continuazione: Esercizio 1

R (b) �� ���������������� −2�→ �→ �→ 1 2 ��������������−2 −1(P) = � × ⋅ = = ⇒0vol AB AC AD� 14������ �������� F .�� 2 2 2

(c) 1 7(T ) = (P) = ⇒vol vol V .6 3

(d) F

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Esercizio 2

∶ + + =Nello spazio siano dati il piano x y 2z 0 e la retta D fi� − =��x y 0∶ �r � .� + + + =�2x y z 2 0 Quale delle seguenti affermazioni è vera?

• (a) r è un punto fi ∩
• (b) r è vuoto fi ∩
• (c) è ortogonale a r fi
• (d) r fi ⊂

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Esercizio 2

∶ + + =Nello spazio siano dati il piano x y 2z 0 e la retta D fi� − =��x y 0∶ �r � .� + + + =�2x y z 2 0 Quale delle seguenti affermazioni è vera?

• (a) r è un punto fi ∩
• (b) r è vuoto fi ∩
• (c) è ortogonale a r fi
• (d) r fi ⊂

fR Ii'I ElEIIi determinatesitcatbCd tefl 1,2 61,1it r my 3Tenc 2 E32

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Esercizio 3

∈D 3×3Sia A una matrice singolare. Quale delle seguenti affermazioni è vera? R = ∀B ∈ 3×1

• (a) Il sistema AX B non ha soluzioni, R
• (b) Il sistema AX B ha soluzioni solo se B è il vettore nullo
• (c) Il sistema AX 0 ha infinite soluzioni
• (d) Il sistema AX B ha infinite soluzioni, R

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Esercizio 3

∈D 3×3Sia A una matrice singolare. Quale delle seguenti affermazioni è vera? R = ∀B ∈ 3×1

• (a) Il sistema AX B non ha soluzioni, R
• (b) Il sistema AX B ha soluzioni solo se B è il vettore nullo
• (c) Il sistema AX 0 ha infinite soluzioni
• (d) Il sistema AX B ha infinite soluzioni, R

soles bandealmenoR it sist certamenteB haoa per 03Tsakehasist 20AXil23AIAI rD rasC ta chebassoluz_BAX robbia eserveAffinchE AIBA rrbd

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Esercizio 4

D 0 1 1 1∶= � � ∶= � �Siano A, B. Quale delle seguenti affermazioni è vera? 0 2 0 1

• (a) A e B sono righe-equivalenti
• (b) A e B non sono simili
• (c) rank(AB) rank(B)
• (d) La matrice AB è invertibile

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Esercizio 4

D 0 1 1 1∶= � � ∶= � �Siano A, B. Quale delle seguenti affermazioni è vera? 0 2 0 1

• (a) A e B sono righe-equivalenti
• (b) A e B non sono simili
• (c) rank(AB) rank(B)
• (d) La matrice AB è invertibile

rfaR BrCa YEEAb 4B GLEl AB Vedid

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Esercizio 5

� �� �D 3� �−2= [ ], = � �1 1 1Siano date le matrici A B. Quale delle seguenti � �−1� �affermazioni è vera?

• (a) rk(BA) 2.
• (b) BA è invertibile.
• (c) rk(BA) 1.
• (d) BA non ha autovalori in R.

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Esercizio 5

� �� �D 3� �−2= [ ], =