Quiz con risposta Algebra e geometria lineare

Algebra lineare e geometria

3 Luglio 2019 – 1 ora

Istruzioni

• Scrivere cognome, nome, matricola in negli appositi spazi. TAMPATELLO
• Per ogni quiz nella prima parte, indicare l’affermazione giudicata corretta nella tabella in questa pagina.
• Trascrivere la risposta alle singole domande dell’esercizio della seconda parte nelle pagine bianche.

C, N: OGNOME OMEM: ATRICOLAD: OCENTE

a c a c Q1 Q5 b d b d a c a c Q2 Q6 b d b d a c a c Q3 Q7 b d b d a c a c Q4 Q8 b d b d

Non scrivere in questo spazio

I parte (Quiz)

Nello spazio con fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale siano dati le rette e rispettivamente di equazioni:

Q1. r₁: x = 2 + t
−ty =
z = 1 + 2t

r₂: x = 1 + 2s
y = 1 + 2s
z = 1

Quale delle seguenti affermazioni è vera?

• (a) Esiste un piano contenente sia r₁ che r₂ e che è ortogonale al vettore ~k.−~ı + 2~ +
• (b) Esiste un piano contenente sia r₁ che r₂ e che è parallelo al vettore ~k.−~ı + ~ + 3
• (c) Non esiste un piano contenente sia r₁ che r₂.
• (d) Il piano di equazione x + y + z = 0 contiene sia r₁ che r₂.

Q2. Se il sistema lineare di due equazioni in due incognite AX = B ha infinite soluzioni, allora

• (a) rango(A) = 2.
• (b) rango(A|B) = 2.
• (c) rango(A) = rango(2A).
• (d) rango(A) < 2.

Q3. Sia l’applicazione lineare f : R⁴ → R³ avente come matrice rappresentativa, rispetto alle basi canoniche,

A = 1 1 2 0
1 2 1 2
2 1 1 2

Quale delle seguenti affermazioni è vera?

• (a) f è invertibile.
• (b) L’immagine di f ha dimensione 2.
• (c) dim Ker(f) = 1.
• (d) f è iniettiva.

Q4. Sia data la base B = {(2, 0, 3), (2, 3, 0), (3, 0, 2)} di R³ e sia ~v = (1, 3, 1).

Quale delle seguenti affermazioni è vera?

• (a) Il vettore ~v non è combinazione lineare dei vettori di B.
• (b) Le componenti di ~v rispetto alla base B sono (1, −1, 1).
• (c) I vettori (2, 0, 3), (2, 3, 0), (3, 0, 2) sono linearmente dipendenti.
• (d) Le componenti di ~v rispetto alla base B sono (1, 1, −1).

Q5. Si consideri la conica C di equazione −x² + xy + y² + 2x − 1 = 0.

Quale delle seguenti affermazioni è vera?

• (a) C è un’ellisse con centro nel punto (7/3, −2/3).
• (b) C è un’ellisse con centro nel punto (−4/3, 2/3).
• (c) C è un’iperbole con centro nel punto (4/3, 5/3).
• (d) C è una parabola con vertice nel punto (−4/5, 8/5).

Q6. Sia V il piano vettoriale di R³ di equazione x + y − z = 0 e sia ~u = (1, 1, 1). Quale delle seguenti affermazioni è vera?

• (a) (2/3, 7/3, 1/3) è il simmetrico di ~u rispetto a V.
• (b) (1/3, 8/3, −2/3) è il simmetrico di ~u rispetto a V.
• (c) (1/3, 1/3, 5/3) è il simmetrico di ~u rispetto a V.
• (d) (7/3, 1/3, 7/3) è il simmetrico di ~u rispetto a V.

Q7. Sia A un’arbitraria matrice reale quadrata 3,3 con polinomio caratteristico p(t) = (t − 1)(t − 2). Quale delle seguenti affermazioni è sicuramente vera?

• (a) A non è diagonalizzabile.
• (b) Il rango di A non è uguale a 3.
• (c) A è invertibile.
• (d) Gli autospazi di A sono ortogonali tra di loro.

Q8. L’angolo formato dai vettori (0, 2, 1) e (1, 1, 0) è

• (a) 1√ cos 5.
• (b) arccos √ !2√ 5.
• (c) arccos √ !2√ 3.
• (d) arccos √ 5.

Seconda parte (Esercizio)

(i) Dimostrare che i seguenti polinomi p₁(x) = 1 − 2x², p₂(x) = x + x², p₃(x) = 1 + 2x² sono linearmente dipendenti.

(ii) Sia l’endomorfismo f tra lo spazio vettoriale dei polinomi di grado almeno così definito:

f : P₂[x] → P₂[x]

f : a + bx + cx² ∈ P₂[x] → a · p₁(x) + b · p₂(x) + c · p₃(x) ∈ P₂[x].

• Scrivere la matrice rappresentativa di f rispetto alla base {1, x, x²}.
• Trovare Ker(f e Im(f)).
• Trovare autovalori e autospazi di f e dire se è d