Urto elastico contro il pendolo

Urto elastico contro il pendolo

Urti

Urto elastico contro il pendolo

Urti

Un cubo di massa m che si muove con velocità costante v₀ = 1 m/s su di un piano orizzontale senza attrito, urta frontalmente una sfera di massa 3m sospesa ad un filo leggero di lunghezza L = 1 m ed inizialmente ferma (Figura. 6.5). Sapendo che l’urto è elastico, calcolare la velocità V della sfera subito dopo l’impatto e l’angolo θ misurato dalla verticale, quando la sfera raggiunge la massima elongazione rispetto alla posizione iniziale. Che cosa accade al cubo dopo l’urto? Che tipo di moto si può ipotizzare per la sfera (si trascuri la resistenza dell’aria)?

(Figura. 6.5)

Dopo aver osservato che in questo caso il rapporto delle masse è μ = 3m/m = 3, possiamo utilizzare i risultati ottenuti nel caso generale ovvero le equazioni (6) che esprimiamo nella forma:

• v = v₀(1−μ)/1+μ
• V = 2 v₀/1+μ

La (1) esprime la velocità del cubo subito dopo l’urto, mentre la (2) fornisce quella della sfera. Poiché quest’ultima è appesa al filo, il suo centro di massa si solleva, rispetto alla posizione di equilibrio, fino all’altezza massima Δh il cui valore, che può essere dedotto geometricamente (vedi Figura 6.5), è espresso da:

Δh = L (1− cosθ) (3)

Quando la sfera raggiunge la sua massima altezza, tutta l’energia cinetica che essa possedeva subito dopo l’urto, viene mutata nell’energia potenziale 3m g Δh. Dunque, per il principio di conservazione dell’energia e dopo aver ricordato la (3), possiamo scrivere:

(3m) g L (1− cosθ) = (½) (3m)V² (4)

Eliminando dalla (4) la massa 3m, è possibile ricavare l’angolo θ richiesto:

cosθ = 1 − V²/2 L g (5)

Sostituendo infine nella (5) il valore di V fornito dalla (2), è possibile dedurre il seguente risultato definitivo:

θ = arccos [1− 2v₀²/L g (1+μ)²]