Calore massimo prodotto da un urto

Calore massimo prodotto da un urto Urti Calore massimo prodotto da un urto Urti

Si considerino due corpi P₁ e P₂ di massa rispettivamente m₁ ed m₂ vincolati a muoversi senza attrito lungo una retta r. All’inizio P₂ è fermo, mentre P₁ si muove con velocità v verso P₂. Come è noto, durante il processo d’urto la quantità di moto, data da mv₁ + mv₂, rimane costante (v₁ e v₂ sono le velocità algebriche, quindi con segno, dei corpi P₁ e P₂ lungo la retta r).

Si determini quanto vale la massima quantità di calore che si può sviluppare durante l’urto. Ammettiamo che m₁ sia minore di m₂. Scambiando il ruolo dei due corpi nello stato iniziale, lasciando invariata v, questa quantità di calore risulterà maggiore, minore o uguale? Si giustifichi la risposta.

Indicate con v₁ e v₂ rispettivamente le velocità di P₁ e P₂ dopo l’urto e ricordando che la velocità iniziale di P₂ è nulla, scriviamo il principio di conservazione della quantità di moto nel modo seguente:

m₁ v = m₁ v₁ + m₂ v₂

Ponendo, al solito, m₂/m₁ = µ l’equazione precedente assume la forma:

v = v₁ + µv₂ (1)

Dal testo del problema si deduce inoltre che l’urto è anelastico; pertanto, indicata con Q la quantità di calore (espressa in unità di lavoro) sviluppata durante l’urto, possiamo scrivere la conservazione dell’energia mediante l’equazione:

(½) m₁ v² = (½) m₁ v₁² + (½) m₂ v₂² + Q

che, divisa per m₁ e moltiplicata per 2, può essere scritta nella forma più semplice:

v² = v₁² + µ v₂² + 2Q/m₁ (2)

Si tratta ora di trovare il valore massimo della quantità Q che, dedotta dalla (2), è espressa da:

Q = m₁/2 [v² − (v₁² + µ v₂²)] (3)

Perché Q sia massima, occorre che la quantità E = (v₁² + μv₂²) sia minima, compatibilmente con l’equazione (1). Per trovare il minimo di E ricaviamo dalla (1) ad esempio la velocità v₁:

v₁ = v – μ v₂

Possiamo così scrivere E in funzione della sola v₂:

E(v₂) = (v – μ v₂)² + μ v₂²

Sviluppiamo ora nella (4) il binomio al quadrato ottenendo:

E(v₂) = v² + μ² v₂² – 2 μ v v₂ + μ v₂²

Ordiniamo quindi il polinomio ottenuto rispetto al variabile v₂. Si trova così:

E(v₂) = μ(μ + 1) v₂² – 2 μ v v₂ + v²

Se adesso poniamo: E(v₂) = y, v₂ = x, μ(μ + 1) = a, - 2 μ v = b e v² = c, la (5) diventa:

y = a x² + b x + c

La funzione (6), come è noto dalla geometria analitica elementare, rappresenta nel piano cartesiano una parabola ad asse verticale con la concavità rivolta verso l'alto, essendo evidentemente a = μ(μ + 1) > 0. Pertanto il minimo di y si ottiene in corrispondenza del vertice della parabola la cui ascissa x_v è espressa da:

x_v = –(b/2 a)

Ovvero, tornando alle notazioni della (5), il minimo di E(v₂) si ottiene per:

v₂ = v/(μ + 1)

Combinando la (7) con la (1), si può concludere che il minimo di E si verifica se le velocità v₁ e v₂ hanno il seguente valore(∞):