Un corpo sul piano inclinato

Un corpo sul piano inclinato

La conservazione dell’energia

Un corpo sul piano inclinato

La conservazione dell’energia

Un corpo di massa m incomincia a scivolare da fermo lungo un piano inclinato di lunghezza l che fa un angolo Θ con l'orizzontale.

1. Se il coefficiente di attrito è μ trovare la velocità del corpo quando arriva in fondo al piano inclinato.
2. Se giunto in fondo scivola ancora orizzontalmente su una superficie che ha le stesse caratteristiche superficiali del piano inclinato, trovare quanto spazio percorre.

I) Risolviamo il problema immaginato con metodi dinamici

a) Diagramma del corpo libero

Dal diagramma del corpo libero si ha, se f_c = μN:

-N + mg cos θ = 0
mg sen θ - μN = ma

Da cui il corpo scende lungo il piano inclinato con un'accelerazione a = g (sen θ - μ cos θ). Siccome parte da fermo, il corpo percorre la distanza l in un tempo t = ^v/_a, dove v è la velocità con cui arriva in fondo al piano inclinato. D'altra parte l = ¹/₂ at² = ^v2/_2a, per cui v = √2al = √2gl (sen θ - μ cos θ)

1) Sul piano orizzontale

Sul piano orizzontale, la f₁ = μ₁mg frena il corpo con una decelerazione a₁ = μ₁g. Ora v è la velocità iniziale del corpo per cui lo spazio percorso, prima di fermarsi, dal corpo è d = ^v²/_2at = ^{2·gl(senθ - μcosθ)}/_2μg cioè d = ^l/_μ (senθ - μcosθ)

II) Con metodi energetici

Abbiamo L_f + K₀ + U₀ = K + U (*) dove L_f è il lavoro della forza d’attrito.

a) Applicazione sul piano inclinato

Applichiamo la (*) sul piano inclinato. Alla sommità: K₀ = 0 perché il corpo parte dalla quiete. U₀ = mgh = mgl senθ se prendiamo come potenziale nullo il potenziale in fondo al piano inclinato. In fondo al piano inclinato è K = ¹/₂ mv² dove v è la velocità in tal punto. U = 0 perché è preso come riferimento.

Si ha inoltre, essendo f_c = μmg cosθ, lungo il piano inclinato: L_f = -f_c l = -μmg cosθ ·l in quanto f_c è diretto come lo spostamento ma ha verso opposto; inoltre f_c è costante.

Si ha allora: mgl senθ - μmg cosθ · l = ¹/₂ mv² da cui v = √2gl(senθ - μcosθ)