Corpo spinto su un piano senza attrito
La conservazione dell’energia
Corpo spinto su un piano senza attrito
La conservazione dell’energia
Un corpo di 20 kg è spinto su per un piano senza attrito, inclinato di 30° e lungo 3 m, da una forza orizzontale F.
a) Se la velocità alla base è 0,6 m/s e in cima è 3 m/s, quanto lavoro fa F?
b) Supponiamo che il piano non sia senza attrito e che μc = 0,15. Quale lavoro farà la stessa forza? Per quanto riesce a salire il corpo lungo il piano?
L’energia cinetica K0 alla base è: K0 = 1/2 mv02, dove v0 è la velocità alla base.
L’energia cinetica K in cima è: K = 1/2 mv2, dove v è la velocità in cima.
Il termine gravitazionale dell’energia potenziale è U = mglsenθ. (dove l è la lunghezza del piano) in cima al piano, posta nulla l’energia potenziale gravitazionale alla base.
L’energia meccanica totale si conserva, data la conservatività delle forze applicate.
Alla base, l’energia meccanica totale è: E0 = K0 + U0 = 1/2 mv02.
In cima, l’energia meccanica totale è E = E0, cioè: E = 1/2 mv2.
D’altra parte l’energia meccanica totale in cima è E = K + U - L dove L è il lavoro fatto dalla forza F e quindi -L è il termine dell’energia potenziale dovuto alla forza F: E = 1/2 mv2 + mglsenθ - L = 1/2 mv02, da cui:
L = 1/2 mv2 - 1/2 mv02 + mgl senθ, cioè L = 1/2 · 20 [(3)2 - (0,6)2] + 20 · 9,8 · 3 · 1/2.
Da cui L = 380,4 Joule.
Attrito e lavoro della forza
b) Si ricava poi Fl tenendo conto che, poiché F è costante, si ha: L = F·l = Fl cosθ da cui F = L/l cosθ = 380,4/3·0,866 = 147 N.
L’energia potenziale della forza F è nel riferimento scelto U0 = ∫0x F·dx = -∫0x Fcosθ dx = -Fl cosθ avendo posto U(0) = 0.
Si ha allora che alla base del piano l’energia cinetica k0 è come già visto k0 = 1/2 mv2, mentre l’energia potenziale è nulla.
Nella posizione in cui il corpo si ferma l’energia cinetica è nulla, mentre l’energia potenziale, se d è il tratto di cui è salito il corpo, è mgd sinθ = Fd cosθ.
Essendo presente anche l’attrito nel bilancio energetico si dovrà tener conto del lavoro Lf fatto dalla forza d’attrito.
Si ha: K0 + U0 + Lf = K + U dove Lf = -∫f d con f forza d’attrito.
Si ha: f = μc N = μc (mg cosθ + Fsenθ), dal diagramma del corpo libero.
Si ha quindi 1/2 mv02 - μc d (mg cosθ + Fsenθ) = mgd senθ - Fd cosθ.
Da cui: 1/2 mv2d = (mg senθ - Fcosθ) + μc (mg cosθ + Fsenθ).
Quindi d = 1/2 20 · (0,6)2/(20·9,8·1/2 - 147·0,866) + 0,15 = 2,435
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