Uguaglianza fratta, principio induzione

Uguaglianza fratta: principio di induzione

Uguaglianza fratta: principio di induzione

∑_k=1ⁿ q^k = q(1-qⁿ) / 1-q (1)

Verifichiamo che è vero per n = 1.

Ponendo n = 1 l'uguaglianza diventa: q = q (1-q / 1-q) → q = QED, è evidentemente vera.

Supposta vera la (1), è vera anche la formula che si ottiene dalla (1) sostituendo n+1 al posto di n, ossia qⁿ⁺¹ = q 1-qⁿ⁺¹ / 1-q (2).

Per dimostrare ciò, sommiamo a entrambi i membri della (1) qⁿ⁺¹, si ottiene:

qⁿ + qⁿ⁺¹ = q 1-qⁿ⁺¹ / 1-q + qⁿ⁺¹ → qⁿ⁺¹ = q(1-q)/1-q ? + qⁿ⁺¹ + qⁿ⁺² = qⁿ⁺¹ - q*q → qⁿ⁺¹ = q(1-qⁿ⁺¹) / 1-q

Abbiamo così ottenuto la (2).

In base al principio di induzione, la (1) risulta quindi vera ∀n ≥ 1 ∈ N.