Disuguaglianza fratta ed esponenziale principio di induzione

Esercizio dimostrazione disuguaglianza con il principio di induzione

Esercizio dimostrazione disuguaglianza con il principio di induzione

Si dimostri che per ogni n ∈ ℕ, n ≥ 2 vale la diseguaglianza ∑_k=1^n-1 K(K+1) ≥ n(n²-1)/3

Svolgimento

∑_k=1^n-1 K(K+1) = n(n²-1)/3 (1)

È evidente che P(1) è vera. Infatti sostituendo 1 al posto di n, nella (1) otteniamo -1(1+1) = 2(4-1)/3, -2 = 2

Che è un'uguaglianza vera.

Occorre dimostrare che, supposta vera (1), è vera anche la formula che si ottiene dalla (1) sostituendo n+1 al posto di n, ossia ∑_k=1ⁿ K(K+1) + n(n+1) = (n+1)((n+1)²-1)/3 = (n+1)(n²+2n)/3 = n²+3n²+2n

Supponendo vera la (1), sommando a entrambi i membri di essa n(n+1), si ottiene: K(K+1) + n(n+1) = n₀(n₂-1)/3 + n(n+1)= n(n²-1)+3n(n+1)/3= n³n²+3n₂+3n₀/3= n²+3n²+2n/3

Abbiamo così ottenuto proprio la (2)

Abbiamo dimostrato che vale per ogni n ∈ ℕ con n ≥ 2

Esercizio dimostrazione disuguaglianza con il principio di induzione