Dimostrazione uguaglianza con induzione

Esercizio dimostrazione uguaglianza con il principio di induzione

Questo esercizio riguarda la dimostrazione dell'uguaglianza mediante il principio di induzione, verificando il caso base e il passaggio da n a n+1.

∑k² = 1/6 n(n+1)(2n+1)

1² + 2² + … + n² = 1/6 n(n+1)(2n+1)

Verifica per n=1

L’enunciato è vero per n=1, infatti è 1 = 1/6 * 1 * (1+1) * (2*1+1) -> 1 = 12.

Dimostrazione per n+1

Dimostriamo ora che se l’enunciato è vero per un certo n, allora è vero anche per (n+1).

Se n² - n(n+1)(2n+1) / 6 (a)

Allora n²+ (n+1)² - n(n+1)(2n+1)/6 = (n+1)²(n+1) (n) (2n+1) + 6 (n+1) = (n+1) (2n²+n+6) / 6n+1 / (n+2) (2n+3) / 6

L'espressione ottenuta coincide con il secondo membro della (a) in cui n=1 (n+1) n+1 / 6 c (2 n+1 / x+1 n+1/6 n+2 / (2n+2+1) /(n+1)(n+2)(2n+3)/6