Uguaglianza fattoriale

Uguaglianza fattoriale con principio induzione

Uguaglianza fattoriale con principio induzione ∑_k=1ⁿ k ⋅ (k!), (n+1)! -1

Si ha 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2! + 3 ⋅ 3! + … + n ⋅ n! = ∑_k=1ⁿ k ⋅ (k!) = (n+1)! -1

Dimostriamo ora che l'enunciato è vero per un certo n, allora è vero anche per (n+1).

Si considera la scrittura di seguito riportata 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2! + 3 ⋅ 3! + … + n ⋅ n! + (n+1) . (n+1) = (n+1)! -1 + (n+1) (n+1)! == (n+1)! (1+n+1) -1 == (n+2)!(2) -1 == (n+2)! -1

Ma l'espressione ottenuta coincide con il secondo membro della (1) in cui (n+1) sostituisce n, infatti (n+1)!(2) -1 = (n+2)!(2) -1 = (n+2)! -1

Sono così soddisfatte le condizioni imposte dal principio di induzione e pertanto la relazione risulta dimostrata.

Concludiamo che la (1) è vera per tutti gli n ≥ 1.