Trasmissione numerica - prova d'esame 2005

Prova scritta di Trasmissione numerica del 1 giugno 2005

Tempo: 2 ore e 30 minuti. È consentito l'uso di libri ed appunti propri.

Esercizio 1

Si consideri la seguente segnalazione in rumore additivo gaussiano bianco (AWGN) con densità spettrale di potenza N₀/2 nell'intervallo di segnalazione [0,T]:

s₀(t) = {sin(2πt/T)     0 < t < T/20     T/2 < t < T}

s₁(t) = {0     0 < t < T/2 −sin(2πt/T)     T/2 < t < T}

s₂(t) = −sin(2πt/T)     0 < t < T

• Disegnare i segnali s₀(t), s₁(t) ed s₂(t);
• Determinare la dimensionalità dello spazio dei segnali e giustificare il risultato;
• Determinare una base ortonormale per lo spazio dei segnali;
• Determinare e disegnare la costellazione dei segnali;
• Determinare e disegnare le regioni di decisione nel caso di segnali equiprobabili;
• Determinare la struttura del ricevitore ottimo in AWGN per segnali equiprobabili realizzato mediante filtri adattati (determinare l'espressione analitica della funzione di risposta impulsiva dei filtri adattati e disegnarne l'andamento);
• Determinare l'espressione della probabilità di errore del ricevitore ottimo nel caso di segnali equiprobabili;
• Determinare la struttura del ricevitore ottimo e l'espressione della probabilità di errore nel caso in cui le probabilità a priori dei segnali sono P(s₀) = 1/4, P(s₁) = 1/4, P(s₂) = 1/2.

Esercizio 2

Si consideri il processo aleatorio

X(t) = ∑_k=-∞^+∞ a_k p(t - kT_p + Θ)

dove p(t) è un segnale di energia finita, {a_k} è una sequenza di variabili aleatorie gaussiane a media nulla, indipendenti ed identicamente distribuite e Θ è una variabile aleatoria uniformemente distribuita in (0,T_p).

• Determinare media, funzione di autocorrelazione statistica e funzione di autocorrelazione media del processo X(t);
• Caratterizzare statisticamente il segnale X(t) nel modo più completo possibile;
• Determinare le proprietà di stazionarietà (o non stazionarietà) di X(t).

Si consideri poi il processo

Y(t) = X(t) - ½ cos(2πf₀t) X(t - τ₁)

con f₀ e τ₁ parametri deterministici.

• Determinare media, funzione di autocorrelazione statistica e funzione di autocorrelazione media del processo Y(t);
• Caratterizzare statisticamente il segnale Y(t) nel modo più completo possibile;
• Determinare le proprietà di stazionarietà (o non stazionarietà) di Y(t).