Analisi matematica uno. Prof Vaira Traccia d'esame svolta appello del 25-10-2018

Esame del 25-10-2018 di analisi matematica 1 (9/12 crediti) B

Regole d'esame

• Non è ammesso l’uso di libri, appunti, calcolatrici, cellulari, etc. Si usa soltanto carta e penna!
• Il tempo per lo svolgimento del compito è di due ore.
• Il compito deve essere svolto su questi 3 fogli, che sono gli unici ad essere consegnati al docente per la correzione.

Esercizio 1

Sia f(x) = ^{19 - 2x2}/_{x² + x - 6}. Determinare:

• Il dominio di f;
• Eventuali asintoti;
• Massimi e minimi relativi e assoluti;
• Eventuali punti di non derivabilità;
• Tracciare un grafico qualitativo.

Esercizio 2

Calcolare ∫^e2x/_{e^2x - 2e^x + 2} dx.

Esercizio 3

Risolvere y' + ¹/_x y = x².

Inoltre trovare (i) le soluzioni tali che lim_x^→+∞ u(x)/x = 1 e (ii) le soluzioni tali che lim_x^→0 x y(x) = 1.

Esame del 25-10-2018 di analisi matematica 1 (9/12 crediti) B

Cognome   Nome   1)   2)   3)   4)   Voto

(La tabella precedente è riservata al docente)

Regole d'esame

• Non è ammesso l'uso di libri, appunti, calcolatrici, cellulari, etc. Si usa soltanto carta e penna!
• Il tempo per lo svolgimento del compito è di due ore.
• Il compito deve essere svolto su questi 3 fogli, che sono gli unici ad essere consegnati al docente per la correzione.

Esercizio 1

Sia f(x) = \(\frac{19-2x^2}{2x^2-x-6}\). Determinare:

• Il dominio di f;
• Eventuali asintoti;
• Massimi e minimi relativi e assoluti;
• Eventuali punti di non derivabilità;
• Tracciare un grafico qualitativo.

Esercizio 2

Calcolare \[\int \frac{e^{2x}}{e^{2x} - 2e^{x} + 2} \, dx.\]

Esercizio 3

Risolvere \[y' + \frac{1}{x}y = x^2.\]

Inoltre trovare (i) le soluzioni tali che \(\lim_{x \to +\infty} \frac{y(x)}{x^2} = 1\) e (ii) le soluzioni tali che \(\lim_{x \to 0+} xy(x) = 1\).

25-10-2018

Esercizio 1

f(x) = √(9 - 2x) / x² - 1x² + x - 6

(√(9 - 2x))² = 2√(2x) x = 3√2

(√(x² + x - 6))² = 9 - 2x 2√(2x) x = 3√2

1. Dominio

x² + x - 6 ≠ 0

(x - 2)(x + 3) ≠ 0

x ≠ 2

x ≠ -3

Segno

f(x) > 0

|9 - 2x²| > 0 (x ∈ D)

x² + x - 6 > 0 se x 2

d = (-∞, -3) ∪ (-3, 2) ∪ (2, +∞)

2. Eventuali asintoti

lim x→-3^- (x) = lim x→-3⁺ = x² - 9x² + x - 6 = 9 / 0⁺ = -∞

lim x→3 = x² - 9x² + x - 6 = 9 / 0 = -∞

lim x→2^- = 2 square root (9 - 2x)x² + x - 6 = 1 / 0^- = -∞

lim x→2⁺ = 2 square root (9 - 2x)x² + x - 6 = 1 / 0⁺ = +∞

Zeri: f(x) = 0

x = ± 3/√2 = ± 3/2√2

x = 3 e asintoto verticale

lim_{x → ∞} f(x) = lim_{x → ∞} (x² - 9) / (x² + x - 6) = 1

lim_{x → -∞} f(x) = lim_{x → -∞} (x² - 9) / (x² + x - 6) = 1

(f(x) = 0 ⇒ 2 asintoti verticali

1 asintoto orizzontale

x = -3

x = 2

y = 2

3. Max e minimi relativi e assoluti

f(x) = (9 - 2x²) / (x² + x - 6)

f(x) = 9 - 2x² per 3/2 √2 ≤ x < 3/2 √2 e x ≠ 2

f'(x) = [ - (x² + x - 6) ( - 9 + 2x² ) (2x + 1) ] / (x² + x - 6)²

= [ -3x² + 2x - 18x + 2x² - 9 + 2x² / (x² + x - 6)² ]

= -2x² - 6x - 9 / (x² + x - 6)²

f'(x) > 0

-2x² - 6x - 9 ≥ 0

2x² + 6x + 9 ≤ 0

Δ = 9 - 18 < 0 ⇒ N <= ∅ ∀ x ∈ (D ⇒]

f(x) decrescente in (³/2√2, 2) ∪ (2, ³/2√2)

∀ x < -³/2√2 o x > ³/2√2 e x ≠ 3

f(x) = ^{2x2 - 9}/_{x² + x - 6}

f'(x) = ^{4x(x2 + x - 6) - (2x2 - 9)(2x + 1)}/_{(x² + x - 6)²}

f'(x) = ^{hx/₃ + h x2 - 2 hx - hx/₄ + 18x - 2x2 + 3}/_{(x² + x - 6)²}

f'(x) = ^{2x2 - 6x + 9}/_{(x² + x - 6)²}

f'(x) ≥ 0

2x - 6x + 9 ≥ 0

9 - 18 < 0 → N > 0 ∀ x ∈ D ⇒ D

f(x) crescente in (-∞, -3) ∪ (-3, -³/2√2) ∪ (³/2√2, ∞)

NB m x = ± ³/2√2 ⇒ f(a) ≠ 0

m x > -³/2√2

u x = ³/2√2

M e massimo relativo

m e minimo relativo

4. Esempio: punti di non derivabilità

\(\lim_{{x \to \frac{3\sqrt{2}}{2}}} f(x)\)

\(-\lim_{{x \to \frac{3\sqrt{2}}{2}^-}} \frac{x^2 - 6x + 8}{(x^2x-6)^2}\) = \(\frac{3\cdot 2}{2} + 3\sqrt{2} + 3\) = \(\frac{18 + 3\sqrt{2}}{8-3\sqrt{2}+12}\) > 0

\(\lim_{{x \to \frac{3\sqrt{2}}{2}^+}} \frac{-x^2 - 6x - 8}{(x^2x-6)^2}\) = \(\frac{-9\sqrt{2} - 18}{8+3\sqrt{2} - 6}\) < 0

x = \(\pm \frac{3\sqrt{2}}{2}\) sono punti di non derivabilità

f(x) ha 2 punti angolosi

\(\lim_{{x \to \frac{3\sqrt{2}}{2}^-}}\) ≠ \(\lim_{{x \to \frac{3\sqrt{2}}{2}^+}}\)

x = -3

x = 2...

5. Grafico qualitativo

Es. 2 Calcolare l'integrale indefinito

∫ ^e2x / _{e^2x - 2e^x + 2} dx

Metodo di sostituzione

e^x = t

e^xdx = dt

∫ ^e2x / _{e^2x - 2e^x + 2} dx = ∫ ^t / _{t² - 2t + 2} dt

= 1/2 ∫ ^{2t - 2 + 2} / _{t² - 2t + 2} dt

= 1/2 ∫ ^{2t - 2} / _{t² - 2t + 2} dt + ∫ ¹ / _{t² - 2t + 2} dt

= 1/2 log_e(t² - 2t + 2) + ∫ ¹ / _{(t-1)² + 1} dt

= " " + ∫ ¹ / _{1 + (t - 1)²} dt

= 1/2 log_e(t² - 2t + 2) + arctan(t - 1) + c

= 1/2 log_e(e^2x - 2e^x + 2) + arctan(e^x - 1) + c