Analisi matematica Prova d'esame svolta appello maggio 2021

Esame di analisi matematica Pegaso Università Telematica

Svolgimento dei quesiti d’esame Maggio 2021 ·

1 → Il seguente limite vale

R 1

Svolgimento · = +∞ · → Forma indeterminata = 1sinlim · = 1cos → 1sin 1 · · = lim 1 1cos → 1 → 0!" → +∞ → sin & 1lim · · = 1 · 1 = 1 & cos &$ → % *+,+-)'( = 102 +.

Il campo di esistenza della funzione

]0; 1]

R

Svolgimento

La funzione è un’esponenziale con base positiva e maggiore di 1. L’esponente è fratto con numeratore irrazionale.

Le condizioni da porre sono: (1 ) 60 ≤ ≤ 1 − ≥ 0 − ≥ 0 → → → 0 < ≤ 11 6 ≠ 0 ≠ 0 ≠ 04

La funzione è definita nell’intervallo: ]0;1]

Matrice A

1 2 59 = 0 1 33 0 0 2

La matrice A = R Ha due autovalori distinti

Svolgimento

La matrice è triangolare alta, gli autovalori sono gli elementi della diagonale principale: > = 1 " > = 2?, 4

L’autovalore 1 ha molteplicità doppia

Gradiente della funzione

'( , &) = sin 2 · cos &4 Il gradiente di è:

A'( , &) = 2 cos 2 · BC!&, − sin 2 · !DE&R FG FG ('( , &) , , &)F F$

Se la funzione ammette derivate parziali in un punto è possibile definire in tale HIJK L, A'come M punto il gradiente di f, indicato con oppure con il vettore di avente per componenti le derivate parziali della funzione : , 'NOPQ 'R' ⇔ A'S$

U' = cos 2 · 2 · cos & = 2 cos 2 · cos &UU' = sin 2 · − sin & = − sin 2 · !DE&U& (2A' = cos 2 · cos & , − sin 2 · !DE&)

Disequazione

7 ≤ 495 La disequazione è risolta per: ≤ 2

R

Svolgimento

La base dell’esponenziale è maggiore di 1, la funzione è strettamente crescente 7 ≤ 497 ≤ 7 ≤ 22

Sistema lineare

+& = 03 + Z = 1Y6 &+Z = 1

Il sistema lineare R Ammette unica soluzione data da (0,0,1)

Svolgimento

2 +& = 03 + Z = 1 ⟺ \] = ^Y &+Z = 1 2 1 0\= 3 0 10 1 12 1 0 a0 1 a3 1|\| = = 2 − ` ` a a3 0 1 1 1 0 10 1 1|\| = −2 − 3 = −5 ≠ 0

⇓

Il sistema è determinato. 0 1 0 |\ |1 1|\ | = = − a=0 → = =0 ` ` a1 0 1 1 1 |\|1 1 12 0 0 c\ c1 12a 0 → & 0 ` a3 1 1 $=c\ c ` 1 1 |\|$ 0 1 12 1 0 cc\|\ | |\| 125 → Z` `3 0 1 $|\|d 0 1 1 0

Soluzioni: Y& 0Z 1

Funzione logaritmica

& log -7 La funzione .

R È strettamente decrescente nel suo dominio

La base del logaritmo è compresa tra 0 e