Analisi Uno

Contents

• Teoremi primo parziale 3
• Teoremi senza dimostrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
• Irrazionalità di radice due . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
• Prima formula di De Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
• Seconda formula di De Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
• Teorema dell’esistenza dei punti di accumulazione . . . . . . . . . . . . . . 7
• Unicità del limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
• Convergenza delle successioni monotone limitate . . . . . . . . . . . . . . 9
• Permanenza del segno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
• Teorema del confronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
• Continuità della funzione composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
• Teorema di Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
• Teorema degli zeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
• Teorema dei valori intermedi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
• Continuità della funzione derivabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
• Somma di derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
• Prodotto di derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
• Derivata della funzione inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
• Lemma di Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
• Teorema di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
• Test di monotonia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
• Teorema di Taylor con resto di Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
• Teoremi secondo parziale 21
• De L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
• Teorema di Taylor con resto di Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
• Primo teorema fondamentale del calcolo integrale . . . . . . . . . . . . . 24
• Media integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
• Integrazione per parti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
• Integrazione per sostituzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
• Continuità della funzione integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
• Secondo teorema fondamentale del calcolo integrale . . . . . . . . . . . . 27
• Esiste una soluzione unica al problema di Cauchy . . . . . . . . . . . . . 28
• Unicità della soluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
• Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
• Distanza punto-piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
• Indipendenza dell’integrale di linea dalla parametrizzazione . . . . . . . 32

Teoremi primo parziale

Teoremi senza dimostrazione

Funzione iniettiva

Una funzione è iniettiva se, dati x e x appartenenti al dominio della funzione, 1 2 se f (x ) = f (x ) allora x = x . Ovvero non ci siano più di una x che abbia lo 1 2 1 2 stesso valore di y.

Funzione suriettiva ∀ ∈ ∃ ∈

Una funzione è suriettiva se y Y x X tale che y = f (x), ovvero non ci devono essere valori di x per cui non esistano valori di y.

Limiti ∀ ∃ ≥ ∀ ∈ ≥ |f −lim f (x) = l > 0 N () 0 / x x N () =⇒ (x) l| < D,x→+∞

∀ ∃ ≥ ∀ ∈ ≤ |f −lim f (x) = l > 0 N () 0 / x x N () =⇒ (x) l| < D,x→−∞

∀ ∃ ∀ ∈ ≥ lim f (x) = +∞ M > 0 N (M ) > 0 / x x N (M ) =⇒ f (x) > MD,x→+∞

−∞ ∀ ∃ ∀ ∈ ≥ −Mlim f (x) = M > 0 N (M ) > 0 / x x N (M ) =⇒ f (x) <D,x→+∞

∀ ∃ ∀ ∈ ≤ −Nlim f (x) = +∞ M > 0 N (M ) > 0 / x x (M ) =⇒ f (x) > MD,x→−∞

−∞ ∀ ∃ ∀ ∈ ≤ −N −Mlim f (x) = M > 0 N (M ) > 0 / x x (M ) =⇒ f (x) <D,x→−∞

∀ ∃ ≥ ∀ ∈ |x − | |f −lim f (x) = l > 0 δ() 0 / x x < δ() =⇒ (x) l| < D, 0x→x 0

∀ ∃ ≥ ∀ ∈ |x − |lim f (x) = +∞ M > 0 δ(M ) 0 / x x < δ(M ) =⇒ f (x) > MD, 0x→x 0

−∞ ∀ ∃ ≥ ∀ ∈ |x − | −Mlim f (x) = M > 0 δ(M ) 0 / x x < δ(M ) =⇒ f (x) <D, 0x→x 0

Formule utili n n+1−1 qX kq = −1 qk=0n n(n + 1)X k = 2k=1n n(n + 1)(n + 2)X 2k = 6k=1 n n!= −k k! (n k)!

Successioni di Cauchy {a } ∈

Condizione necessaria affinché una successione converga è che abbia Qn n la seguente proprietà detta di Cauchy: ∀ ∃ ≥ |a − | > 0 N () / n, m N () =⇒ a < n m

La condizione di Cauchy è necessaria e sufficiente per la convergenza di successioni in R.

Teorema secondo di completezza ⊂

Dato un insieme A l’estremo superiore di A è sup A, ed è il minimo dei R, ∈ maggioranti. Se A è superiormente limitato allora esiste sup A R.

Teorema fondamentale dell’algebra ∈

Dati i coefficienti c , c , c , . . . , c l’equazione algebrica C,0 1 2 n 2 3 n c + c z + c z + c z + . . . + c z0 1 2 3 n ∈ ha esattamente n soluzioni z , z , z , . . . , z non necessariamente distinte. C0 1 2 n

Punti di accumulazione ∈ ∈

Punti di accumulazione di un insieme E è x per E se: R R0 ∀ − ∩ # ((x , x + ) E) = +∞0 0

e: ∀ ∃ ∈ − ∩ \ {x })> 0 x (x , x + ) (E0 0 0

e: ∃ {x } ⊂ \ {x })(E / lim x = xn 0 n 0x→x 0

Si dice che x è punto di accumulazione per l’insieme A se in ogni intorno I(x ) 0 0 di x esiste almeno un elemento x diverso da x ed appartenente ad A.0 0

Teorema di Bolzano-Weierstrass ∈

Se un insieme E è limitato ed infinito allora l’insieme dei punti di accumulazione E =Limite della derivata destra e sinistra0 6 ∅

∈ ∈ \ {x }),Data una funzione f C ([a, b]), con f C ((a, b) se00 0 0 ∃lim f (x) = lim f (x) = l f (x ) = l0−+x→x x→x0 0

Irrazionalità di radice due

Il teorema di Pitagora dice che la lunghezza della diagonale di un quadrato ha la seguente proprietà: 2 2 2x = 1 + 1 = 2 ossia che il quadrato costruito sulla diagonale è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. Questo porta ad una equazione che non ha soluzioni nell’insieme dei numeri razionali.

Dimostrazione

Si supponga che esiste una soluzione x uguale al rapporto tra due numeri primi fra loro (con nessun fattore in comune): m ∈∃x = Qn 2

Questa è l’ipotesi da dimostrare falsa, e possiamo dedurre che se x = 2, allora: 2m =22n

che può essere riscritta nel seguente modo: 2 2m = 2n

Il numero sulla destra dell’uguale è sicuramente positivo, dato che qualsiasi numero sia n, verrà moltiplicato per due rendendo m positivo. Quindi si può ∈ dire che m = 2k dove k ossia k è un qualsiasi numero in Si può quindi N, N.

sostituire di nuovo e dire che: 2 2 22n = m = 4ke

di conseguenza ottenere: 2 2n = 2k2

Qualsiasi numero k sia, n sarà pari anch’esso e quindi anche n deve essere pari. Questa è una contraddizione, l’assurdo che si cercava, dato che sia m che n sono risultati pari, il che significa che hanno sicuramente almeno un fattore in comune, e di conseguenza m, n non possono essere primi, contraddicendo l’ipotesi iniziale. Di conseguenza serve l’insieme dei numeri reali per poter risolvere questo problema.

Prima formula di De Moivre

Dato un numero complesso z = ρ (cos θ + i sin θ), una potenza di z può essere trovata con la seguente formula: n nz = ρ (cos (nθ) + i sin (nθ))

Dimostrazione

Dati due numeri complessi, z e z tali che:1 2z = ρ (cos θ + i sin θ )1 1 1 1z = ρ (cos θ + i sin θ )2 2 2 2

Se si svolge il prodotto, si ottiene: −z z = ρ ρ [cos θ cos θ sin θ sin θ + i (sin θ cos θ + cos θ sin θ )]1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

Semplificando, si ottiene che: z z = ρ ρ [cos (θ + θ ) + i sin (θ + θ )]1 2 1 2 1 2 1 2

Iterando per n numeri complessi uguali fra loro e moltiplicati, si otterrà quindi che: z z z z . . . = ρ ρ ρ ρ . . . [cos (θ + θ + θ + θ + . . . ) + i sin (θ + θ + θ + θ + . . . )]1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

ovvero: n nz = ρ [cos (nθ) + i sin (nθ)]

Seconda formula di De Moivre

n ≥Dato un numero complesso w = ρ (cos θ + i sin θ), l’equazione z = w con n ∈ ∈1 ha esattamente n distinte soluzioni z , z , z , . . . , z date da:N C0 1 2 n−1z = ρ (cos θ + i sin θ )k k k k

dove: 1ρ = ρ nk θ + 2kπ −θ = per k = 0, 1, 2, . . . , n 1 k n

Le radici n-esime di w sono i vertici di un poligono regolare di n lati inscritto 1nella circonferenza di raggio ρ e centro l’origine.n

Dimostrazione

Si verifica con la prima formula di De Moivre. Sia z = σ (cos α + i sin α) la nrappresentazione trigonometrica di una radice dell’equazione z = w, dove σ =|z| e α = Arg(z), si ha che: n[σ (cos α + i sin α)] = ρ (cos θ + i sin θ)

quindi espandendo la parentesi usando la prima formula di De Moivre: nσ (cos(nα) + i sin(nα)) = ρ (cos θ + i sin θ)

Da questa uguaglianza si può intuire che: 1nσ = ρ =⇒ σ = ρ n

come affermato dal teorema. Inoltre, si ha che: nα = θ + 2kπ

con l’aggiunta del 2kπ per non perdere soluzioni, poiché ogni due pi greco i coseni e i seni si ripetono, si ha quindi che: θ + 2kπ −α = per k = 0, 1, 2, . . . , n 1n

dove k è limitato, poiché se non lo fosse, i risultati si ripeterebbero all’infinito. Si ha quindi che: z = ρ (cos θ + i sin θ )k k k k

Teorema dell’esistenza dei punti di accumulazione

0 6 ∅.Se un insieme E è infinito e limitato, allora E =

Dimostrazione

Essendo E limitato, ragionando per dicotomia, si può scrivere che: ∈E [a , b ]0 0

e si può stabilire un punto c come punto medio, ovvero: a + b0 0c = 2

Si divide quindi l’intervallo in due intervalli più piccoli: [a , c] [c, b ]0 0

Si sceglie la metà d’intervallo tra i due con infiniti punti di E e la si chiama [a , b ]. Iterando questo processo si ottiene:1 1 ⊂ ⊂ · · · ⊂[a , b ] [a , b ] [a , b ]k+1 k+1 k k 0 0

dove in ogni semi-intervallo ci sono sempre infiniti punti di E, quindi si può dire che: ∃ lim a = lim b =: xk k ok→+∞ k→+∞

poiché a è crescente e limitata e b è decrescente e inferiormente limitata. Si k kpuò dire inoltre che: ∀ ≥ ∃ ∈ ∩ \ {x }k 0 x [a , b ] Ek k k o

che significa che esiste sempre un punto nell’intervallo diverso da x per qualsiasi 0k. Questo valore x è tale che:k ≤ ≤ ∀ ≥a x b k 0k k k

e per la proprietà del confronto dei limiti, si ha che: ≤ ≤lim a lim x lim bk k kk→+∞ k→+∞ k→+∞

ma sia a sia b hanno il limite che tende a x , come stabilito prima, quindi: k k 0lim x = xk 0k→+∞

0 6quindi x è punto di accumulazione di E e quindi E = 0.

Unicità del limite

→Se una funzione f : ammette limite l := lim f (x) in un punto di D R 1 x→x00 ∈accumulazione x del dominio, allora il limite è unico.D0

Se ∃ ∩ ∃lim f (x) = l lim f (x) = l =⇒ l = l1 2 1 2x→x x→x0 0

Dimostrazione

Supponiamo che la funzione ammetta anche un valore l come limite in x .2 0 Dalla definizione si ha che: ∀ ∃ ∈ \ {x }, ∈ − |l − > 0 δ > 0 / x x (x δ , x + &