Teoria dei segnali - vari esercizi

Bio/info (DF-M) prova scritta di teoria dei segnali del 13.12.2005

Tempo: 2.5 ore. È consentito l’uso di libri ed appunti propri.

Esercizio 1 (10 punti)

Si consideri il seguente segnale periodico:

x(t) = ∑_{m = −∞}^+∞ (−1)^m rect[(t − 4mT) / 2T], T > 0.

Con x(t).

Quesiti

(a) Rappresentare graficamente il segnale e individuarne il periodo T₀.

(b) Calcolare i coefficienti della serie di Fourier di x(t).

(c) Nell’ipotesi in cui il segnale sia posto in ingresso ad un sistema SLS avente risposta impulsiva h(t) = g(t) + g(t − T), dove g(t) è un segnale arbitrario dotato di trasformata di Fourier limitata G(f), determinare il corrispondente segnale di uscita y(t).

Esercizio 2 (10 punti)

y(t)   y[n]   camp.   x(t)   y(t)   ricostr.

x₁(t)   f_c/2   x₂(t)   x(t)

Con riferimento allo schema di figura, i segnali x₁(t) ed x₂(t) sono entrambi segnali passabasso a banda rigorosamente limitata, aventi banda monolatera pari, rispettivamente, a W₁ e W₂; il campionamento ideale è ideale, senza filtro antialiasing, e la ricostruzione avviene con un filtro passabasso ideale con frequenza di taglio f_c/2 e guadagno in continua 1/f_c.

Quesiti

(a) Determinare il minimo valore della frequenza di campionamento f_c per la perfetta ricostruzione del segnale y(t) a partire dai suoi campioni y[n].

(b) Nell’ipotesi che x₁(t) = cos(2π3t) (tempi in ms), x₂(t) = cos(2π5t) (tempi in ms), f_c = 10 kHz, stabilire se la condizione determinata al punto (a) è verificata, e determinare in ogni caso l’espressione esplicita dei segnali y[n] e y(t).

Esercizio 3 (10 punti)

Sia X una variabile aleatoria uniforme nell’intervallo (−3, 3), e sia Y = g(X) la variabile aleatoria ottenuta da X mediante la seguente trasformazione:

g(x) =

• −x, x < 0;
• 1, 0 ≤ x < 1;
• x, x ≥ 1.

Utilizzando il teorema fondamentale della media, calcolare media, valor quadratico medio e varianza di Y, esprimere tutti i risultati intermedi e finali in forma frazionaria.