Teoria dei segnali - Esercizi

Info (DF-M) Prova scritta di teoria dei segnali del 27.06.2005

Tempo: 2.5 ore. È consentito l’uso di libri ed appunti propri.

Esercizio 1 (10 punti)

x(t) g 2 10 T 2T t x(t) T = 2 T

Il segnale riportato in figura è replicato con periodo T₀, ottenendo così il segnale periodico:

g_rep[x(t)] = x_g(t − mT₀). x(t) = ∑_m=−∞^+∞ x_g(t − mT₀).

• Calcolare i coefficienti della serie di Fourier del segnale x(t).
• Nell’ipotesi in cui x(t) sia posto in ingresso ad un filtro SLS ideale con risposta in frequenza π/2, 0.5/T₀ ≤ |f| ≤ 2.5/T₀;

H(f) = 0, altrimenti; calcolare la corrispondente uscita y(t).

Esercizio 2 (10 punti)

y(t) y[n] - - - - h(t) y_r(t) x(t) campion. ricostr. r 6 6 f_c f_c

Con riferimento alla figura, la risposta impulsiva del filtro SLS è h(t) = 1/πt, il campionamento è effettuato a frequenza f_c = 300 kHz (senza filtraggio antialiasing), e la ricostruzione avviene con un filtro passabasso ideale con frequenza di taglio f_c/2 e guadagno in continua 1/f_c.

Nell’ipotesi che x(t) = cos(2π100t) + sin(2π200t), determinare i segnali y(t), y[n], y_r(t) e calcolare la potenza di r(t) (tempi in ms).

Esercizio 3 (10 punti)

U Ω = Il risultato di un esperimento aleatorio è un numero distribuito uniformemente nell’intervallo [0, 1].

X Ω Si supponga di costruire una variabile aleatoria X su Ω nel seguente modo:

X =

• 0, se U ∈ [0, 1/4];
• 1, se U ∈ ]1/4, 1/2];
• 2 U + 1, se U ∈ ]1/2, 1].

• Determinare e rappresentare graficamente la CDF di X, e verificare che sia una valida CDF.
• Stabilire se X è una variabile aleatoria continua, discreta o mista.
• Determinare e rappresentare graficamente la pdf di X, e verificare che sia una valida pdf.
• Calcolare le probabilità P(1 ≤ X ≤ 5/2) e P(1 < X ≤ 5/2) (esprimere i risultati in forma frazionaria).