Disequazione fratta con seno cose radice e valore assoluto

Disequazione fratta con seno, cose, radice e valore assoluto

Si risolva la seguente disequazione

^{√2sin2x - 1 - √2 |cos x|}2 |cos x + 1| - 1

Si tratta di una disequazione fratta.

Notiamo che |cos x + 1| = cos x + 1 se cos x ≥ -1 -cos x - 1 se cos x = -1 ma minore di -1.

Quindi possiamo passare da |cos x + 1| a (cos x + 1). Pertanto stabiliamo il campo di esistenza osservando che il membro a sinistra è costituito da:

• Una funzione radice quadrata definita per valori positivi dell'argomento, ovvero valori maggiori o uguali a 0;
• Una funzione fratta in cui il denominatore deve essere diverso da 0.

Risulta essere:

2 sin²x - 1 ≥ 0

2 (cos x + 1) - 1 ≠ 0

Per la disequazione si può riscrivere come:

(√2 sin x - 1)(√2 sin x + 1) ≥ 0

E si ha che:

√2 sin x - 1 ≥ 0 o √2 sin x + 1 ≥ 0

Per la prima abbiamo che:

√2 sin x - 1 ≥ 0 → sin x ≥ ¹/_√2 → x _{2 kπ} : x π -α _{2 kπ} → ^π/2 + 2kπ ≤ x ≤ ^3π/4 + 2kπ.

Per la seconda, invece:

√2 sin x + 1 ≥ 0 → sin x ≥ -¹/_√2 → 2kπ ≤ x _{22kπ + 2} → ^{0 + 2 kπ} ≤ x ≤ ^5π/4 ∪ ^7π/4 ≤ x 2 kπ.

Ora risolviamo:

2(cosx+1)-1 ≠ 0 → 2cosx+2-1 ≠ 0 → 2cosx ≠ -1 → cos x ≠ -¹/₂ → x ≠ ^±/₃ + 2 ∨ x ≠ ⁴/₃ + 2.

Le condizioni di esistenza sono:

/₄ + 2 ≤ x ≤ ³/₄ + 22 ≤ x ≤ ⁵/₄ ∨ ⁷/₄ ⇐ x ≤ 2 + 2x ≤ /₃ ± 2 ∨ x ≠ ⁴/₃ ± 2

/₄ ≤ x ≤ ³/₄ ∨ ⁵/₄ ≤ x ≤ ⁷/₄ con x ≠ ²/₃ ∨ x ≠ ⁴/₃.

Studio del segno dei fattori

Studiamo il segno di ciascun fattore ponendoli maggiori di zero.

Numeratore n  _√2sin²x-1/^√2 ∨ |cosx| > _√2|cosx| √2sin²x-1/^√2  → |cosx| √2sin²x-1/₂.

Significa studiare il sistema:

(1)  cosx > _√2sin²x-1/²

(2)  cosx √2sin²x-1/²

Per la (1) abbiamo che:

cosx > -^√2sin²x-1/₂ → cosx > √2sin²x-1 → < _√2cosx > ^√2sin²x-1/₂ ∧ √cosx equivale a risolvere i seguenti sistemi:

2sin²x-1 > 0 ∪ < -cosx ≥ 0 -cosx ≤ 0  <_{2sin²x-1 > 2cos²x}

Primo sistema

Per il primo sistema si ha che:

• -cos x < 0 ⇒ cos x > 0 ⇒ 0 < x < π &vee; ^3π⁄₂ < x < 2π
• 2 sin²x - 1 > 0 ⇒ ^π⁄₄ < x < ^3π⁄₄ &vee; ^5π⁄₄ ≤ x ≤ ^7π⁄₄

Le soluzioni sono:

^π⁄₄ + 2kπ ≤ x ≤ ^3π⁄₄ + 2kπ &vee; ^5π⁄₄ + 2kπ ≤ x ≤ ^7π⁄₄ + 2kπ.

Secondo sistema

Per il secondo sistema si ha che:

cos x < 0 ⇒ ^π⁄₂ < x < ^3π⁄₂

2 cos²x < 2 sin²x - 1 ⇒ 2 cos²x < 2(1 - cos²x) - 1 ⇒ 2 cos²x < 2 - 2cos²x - 1 ⇒ 4 cos²x - 1 < 0 ⇓ (2 cos x - 1)(2 cos x + 1) < 0.

Ovvero quando:

• 2 cos x - 1 > 0 ⇒ cos x > ¹⁄₂ ⇒ 0 < x < ^π⁄₃ &vee; ^5π⁄₃ < x < 2π
• 2 cos x - 1 < 0 ⇒ cos x < ¹⁄₂ ⇒ ^π⁄₃ < x < ^5π⁄₃ &vee; ^7π⁄₃ < x < 3π

Quindi ^π⁄₃ < x < ^5π⁄₃ &vee; ^4π⁄₃ ≤ x ≤ ^5π⁄₃.

Le soluzioni del 2° sistema sono:

^π⁄₂ < x < ^2π⁄₃ &vee; ^4π⁄₃ ≤ x ≤ ^3π⁄₂.

Le soluzioni dell'(1) sono:

0 ^π/₄ ^π/₂ ^3π/₄ ^{π 5π}/₄ ^3π/₂ ^9π/₄ π/4 ≤ x ≤ 3π/4 ∨ 5π/4 ≤ x ≤ 7π/4.

Studio della (2)

Ora per la (2) abbiamo che:

cos x ^{√(2sin²x - 1)}/₂ ∨ √(2sin²x - 1) ≤ |2cos x|

che equivale a risolvere i seguenti sistemi:

2sin²x - 1 ≥ 0 ∪ cos x ≥ 0

cos x ≤ 0 (2sin²x - 1) ≥ 2cos²x

Primo sistema della (2)

Per il primo sistema si ha che:

2sin²x - 1 ≥ 0 ⇒ x ≤ π/4 ≤ x ≤ 3π/4 ∨ 5π/4 ≤ x ≤ 7π/4 cos x.

Le cui soluzioni sono:

0 ^π/₄ ^3π/₄ ^5π/₄ ^7π/₄ 2π π/2 ≤ x ≤ 3π/4 ∨ 5π/4 ≤ x ≤ 3π/2.

Secondo sistema della (2)

Per il secondo sistema si ha che:

cos x ≥ 0 ⇒ 0 ≤ x ≤ π ∨ 3π/2 ≤ x ≤ 2π

2sin²x - 1 ≥ 2cos²x ≥ 0 ⇒ 2(1 - cos²x) - 1 - 2cos²x ≥ 0

2 - 2cos²x ≥ 1 + 2cos²x ≥ 0 ⇒ -4cos²x ≥ -1 ≥ 0

2cos²x ≤ 1 ≥ cos x = ±1/√2 ⇒ π/2 ≤ x ≤ 3π/2.

Le cui soluzioni sono:

0 ^π/₃ ^2π/₃ ^4π/₃ ^5π/₃ 2π π/2 ≤ x ≤ π ∨ 3π/2 ≤ x ≤ 3π.