Studio di funzioni, massimi, minimi e flessi

D.P. Febbraio 2022 analisi matematica

Massimi minimi flessi

Esercizi svolti 4 5 5 0

Dimostra, utilizzando il teorema degli zeri, che l’equazione: ha almeno una soluzione nell’intervallo [2;3]

Esercizi dal capitolo 26

Dimostra, utilizzando il teorema degli zeri, che l’equazione: 4 5 5 0 ha almeno una soluzione nell’intervallo [2;3]

Teorema degli zeri

Sia: ; → continua e tale che: ⋅ 0 allora; ∃ ∈ ; | 0

Le ipotesi del teorema sono verificate, in quanto la funzione data è una razionale intera definita e continua in R. Verifichiamo che essa assume valori opposti in 2 e in 3:

2 2 2 4⋅2 5⋅2 7→ 2 0

3 3 3 4⋅3 5⋅3 52 → 3 0

per cui: 2 ⋅ 3 0

∃ ∈ 2; 3 | 0

Esiste dunque almeno una soluzione in ]2;3[. Applico il metodo di bisezione.

f x x x 4x 5x 52 3 5 5 52,5 → & 12,19 →% )2; *2 2 2 2# #52 9 9 92 2,25 → % & 0,52 → )2; *2 4 4 4

ci avviciniamo allo zero…

92 17 17 17 94 2,125 → % & 3.7 → ; *)2 8 8 8 4

2,125 è un’approssimazione della soluzione per difetto

2,25 è un’approssimazione della soluzione per eccesso 19 4

Parabola e area minima

Considerata la parabola di equazione, nel primo quadrante ciascuna tangente alla parabola delimita con gli assi coordinati un triangolo. Determinare il punto di tangenza in modo che l’area di tale triangolo sia minima. 4 , ∈ 0; 2 :

Consideriamo la parte di curva che ricade nel primo quadrante e raffiguriamo la tangente in; ; che interseca gli assi nei punti A e B:

Equazione della tangente: <: 9 9 =<: 9 ′

in cui: 9 4= 2?

sostituendo: 9 4 2

risolvendo: 9 4 2 ⋅ 29 2 ⋅ 4 9 0

Intersezioni con gli assi: 49 0 9 0 4→@ →A →B : 0D@ C9 2 ⋅ 4 2 ⋅ 4 0 220 0→@ →E 0; 4@9 2 ⋅ 4 9 4 B FG

Scriviamo la funzione obiettivo da minimizzare, l’area del triangolo: 2HB ⋅ HEB 21 4 4B D⋅ 4 , ∈ 0; 2C2 2 4

Scriviamo per semplicità 1 4B ⋅4

e deriviamo: 1 2 4 2 ⋅ 4 4 4 4 4 3 4B ⋅? 4 4 4∀ ∈

Segno e zeri della derivata prima: 4I0 ⎧ 2 2⎪4 3 4 4 P ∨ I4 3 4 I0 →I0→@ →J I √3 √34 4 0 3 ⎨ S0⎪0 ⎩2 2

per le condizioni su x: 2P ∨ I → P P2T √3 √3 √30 P2 √

L’area è minima per:

Le coordinate del punto di tangenza: 2 2 2 8: U ; % &V % ; &3√3 √3 √3] ^?] ^4W 4X2 1 3B% & ⋅ 24√3 √32 16 √3B% & % &3 8√3 32√3B 9Z[\ 3

Massimi, minimi ed estremi relativi

Una funzione definita in [a; b] può avere più punti di massimo o minimo relativi in [a; b].

I punti di massimo e minimo relativi si dicono di f (x). punti estremanti relativi

I valori assunti dalla funzione in questi punti si chiamano di f (x). estremi relativi

Un punto di estremo assoluto è anche un punto di estremo relativo, ma non è sempre vero il viceversa.

è

Per esempio, per la funzione della figura a lato un punto di massimo relativo e assoluto, è un# punto di massimo relativo, è un punto di minimo relativo; non esiste il punto di minimo assoluto.

Nota bene Nelle definizioni date non è richiesta la continuità o la derivabilità della funzione. 4

Questo significa che può avere un punto di estremo relativo o assoluto in un punto in cui non è continua oppure non è derivabile. Per esempio, la funzione del grafico a lato in , ha un punto di discontinuità di I specie, un salto, e# è un punto di massimo relativo, mentre in punto di non derivabilità (punto angoloso), la funzione ha un punto di minimo relativo.

Punto di flesso e punto stazionario

Se la funzione è derivabile nel punto di flesso, esiste la tangente alla curva in tale punto ed è obliqua o parallela all’asse x; se la derivata è infinita, la tangente è parallela all’asse y.

La tangente in un punto di flesso viene anche detta tangente inflessionale.

9 0,?

• Dati una funzione derivabile in un suo punto, se allora è un punto stazionario.
• Se in la funzione non è derivabile, non si ha un punto stazionario anche se è un punto di massimo o di minimo relativo. (ad esempio nei punti angolosi)

Esempio _1

La derivata della funzione in non esiste.

I due punti A e B sono punti di minimo relativo e La funzione ha due minimi relativi in -1 e 1, mentre ha 0,1 punti angolosi. Il punto C è punto di massimo un massimo relativo in relativo e punto stazionario.