Appunti sullo studio di funzioni

Brevi appunti sullo studio di funzione

Francesco Di Leo

21/06/2022

Indice

• 1 Dominio funzioni 2
• 2 Forme indeterminate 3
• 2.1 Quali sono le forme indeterminate? . . . . . . . . . . . . . . . 3
• 2.2 Forme "semi-indeterminate" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
• 3 Limiti notevoli 4
• 3.1 Limiti notevoli trigonometrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
• 3.2 Limiti notevoli esponenziali e logaritmici . . . . . . . . . . . . 4
• 3.3 Altri limiti notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
• 4 Derivata prima 5
• 4.1 Derivate delle funzioni elementari . . . . . . . . . . . . . . . . 5
• 4.2 Regole di derivazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
• 4.3 Punti di non derivabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
• 5 Crescenza e decrescenza 8
• 5.1 Massimi e minimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
• 6 Derivate di ordine superiore 9
• 7 Concavità e convessità 9
• 7.1 Punti di esso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
• 8 Come disegnare il grafico di funzioni conoscendo un particolare grafico 10

1 Dominio funzioni

Sia una funzione. Determinare il dominio della funzione significa f Dom(f ) trovare tutti quei numeri tali che la funzione sia definita in .x f x

In altre parole se non ha significato.∈x / Dom(f ) =⇒ f (x)

Analizziamo il dominio per le varie tipologie di funzioni:

2 Forme indeterminate

2.1 Quali sono le forme indeterminate?

Le forme indeterminate sono sette: ∞0 h i ∞ 0 0· ∞] − ∞][0 [1 ] [+∞ [0 ] [∞ ]∞0

Quando ci si imbatte in una delle seguenti forme, non si può dire a priori il risultato del limite, ma è necessario manipolare l'espressione per liberarsi dalla forma indeterminata.

2.2 Forme "semi-indeterminate"

Sono operazioni non lecite, tuttavia danno luogo a risultati certi. Le possiamo analizzare come segue:

• Caso 1. ; aa ∀a −∞ ∀a= +∞ > 0 = < 0+ +0 0
• Caso 2. ;a a−∞ ∀a ∀a= > 0 = +∞ < 0− −0 0
• Caso 3. a ∀a ̸= 0 = 0∞ ;
• Caso 4. −∞+∞ −∞= +∞ =+ +0 0
• Caso 5. ; −∞+∞ −∞= = +∞− −0 0
• Caso 6. 0 =0∞
• Caso 7. ∀a ∈+∞ + a = +∞ R
• Caso 8. −∞ −∞ ∀a ∈+ a = R
• Caso 9. ;· ∀a · −∞ ∀a+∞ a = +∞ > 0 +∞ a = < 0
• Caso 10. ;−∞ · −∞ ∀a −∞ · ∀aa = > 0 a = +∞ < 0
• Caso 11. n ∀n(+∞) = +∞ > 0
• Caso 12. ;n n −∞(−∞) = +∞ se n pari (−∞) = se n dispari

3 Limiti notevoli

3.1 Limiti notevoli trigonometrici

• Formula 1. ;sin(x) sin(f (x))lim = 1 lim =1x→0 f (x)→0x f (x)
• Formula 2. ;1−cos(x) 1−cos(f (x))1 1lim lim= =x→0 f (x)→02 2x 2 (f (x)) 2;
• Formula 3. tan(f (x))tan(x) = 1 lim =1limx→0 f (x)→0x f (x)
• Formula 4. ;arcsin(x) arcsin(f (x))lim = 1 lim =1x→0 f (x)→0x f (x)
• Formula 5. ;arctan(x) arctan(f (x))lim = 1 lim =1x→0 f (x)→0x f (x)

3.2 Limiti notevoli esponenziali e logaritmici

• Formula 1. ;1 1x f (x)lim (1 + ) = e lim (1 + ) = ex→∞ f (x)→∞x f (x)
• Formula 2. ;ln(x+1) ln(f (x)+1)lim = 1 lim =1x→0 f (x)→0x f (x)
• Formula 3. ;log (x+1) log (f (x)+1)1 1 ∀a ̸lim = lim = > 0, a = 1a ax→0 f (x)→0