Analisi matematica 1 - studio di funzioni

Esercizio 1

1) f(x) = ^{4 - 5x2}/_{x² + x - 2} né pari né dispari

Dom: x² + x - 2 ≠ 0 (x + 2)(x - 1) ≠ 0 x ≠ 1 & x ≠ -2 (-∞, -2) ∪ (-2, 1) ∪ (1, +∞)

Intersez. x = 0, y = 2, y = 0, 4 - 5x² = 0, x² = ⁴/₅, x = ±²/_√5

Segno ^{9 - 5x2}/_{x² + x - 2} > 0, -²/_√5 < x < ²/_√5, x < -2 oppure x > 1

-2, -²/_√5, ²/_√5, 1

---------------+ - +-

-²/_√5 < x < ²/_√5

²/_√5 < x < 1

Funzione, dominio e segno

1) f(x) = 4 - 5x² / x² + x - 2

Dom: x² + x - 2 ≠ 0 (x+2)(x-1) ≠ 0 x ≠ 1 & x ≠ -2 (-∞, -2) ∪ (-2, 1) ∪ (1, +∞)

Intersez. x = 0, y = 2, y = 0, 4 - 5x² = 0, x² = 4/5, x = ± 2/√5

x = 0, y = 2, y = 0, x = 2/√5, y = 0, x = -2/√5

Segno (9 - 5x²) / (x² + x - 2) > 0

-2/√5 < x < 2/√5

x < -2 oppure x > 1

−2, −2/√5, 2/√5, 1

−2 < x < −2/√5

2/√5 < x < 1

Comportamento della funzione in punti particolari

Dom

limx→-2+ 4 - 5x2 / x2 + x - 2 = 4 - 5x2 / (x + 2)(x - 1) = +16 / 0+(+3) = +∞

limx→-2- 4 - 5x2 / (x + 2)(x - 1) = -∞, x = -2, asint. verticale

limx→1+ 4 - 5x2 / (x + 2)(x - 1) = -1 / (3)(0+) = -∞, x = 1, asint. vert.

limx→1- -1 / (x + 2)(x - 1) = +∞

lim_x→+∞ ^{4 - 5x2} / _{x² + x - 2} = ^{x2(4/_x2 - 5)} / _{x²(1 + ^x / x²)} = -5

lim_x→-∞ ^{4 - 5x2} / _{x² + x - 2} = -5, y = -5, asint. orizz. quindi ho deguai

Studio della derivata prima

g(x) = ^{4 - 5x2} / _{x² + x - 2}

g'(x) = ^{(-10x)(x2 + x - 2) - (2x + 1)(4 - 5x2)} / _{x² + x - 2}

g'(x) = -10x³-10x²+20x-8x+10x²-9+5x²

g'(x) = -10x³+5x²+10x²-8x-9(x²+x-2)²

g'(x) = -5x ^{3 +!0} _+12x-4(x²+x-2)_2g'⁺

g'(x) > 0

-5x²+12x-4>0

x₁2 = +- √36-20^/5+2+4/5

x = 2

x₂2₅<x^C25 ₂ ⁵

min. 2, maxm (₃₅;-²⁹)

M (₂; -4)

grafico

Esercizio 2

f(x) = ^x2-16⁄_x+5

Dom x+5 ≠ 0, x ≠ -5, (-∞, -5) ∪ (-5, +∞)

f(-x) = ^(-x)2-16⁄_(-x)+5 = ^x2-16⁄_-x+5

Intersezioni. { x = 0, y = -¹⁶⁄₅ } (0,-¹⁶⁄₅) { y = 0, x²-16 = 0 } (4,0) (-4,0)

Segno ^x2-16⁄_x+5 > 0, x, 4, x ≠ -5

-5 < x < -4 ∪ x > 4

Limiti

limx→-5+ x2-16/x+5 = 9/0+ = +∞

limx→-5- x2-16/x+5 = 9/0- = -∞, -5 così vert.

lim_x→+∞ ^x2-16/_x+5 = ^{x2(1 - 16/_x2)}/_{x(1 + ⁵/x)} = ∞

lim_x→-∞ g(x) = -∞

lim_x→±∞ ^x2-16/_x²+5x = ^{x2(1 - 16/_x2)}/_{x²(1 + ⁵/x)} = 1

lim_x→±∞ ^x2-16 - x/_x+5 = ^x2-16/_x+5 - x = ^x2-16 x^-2·5/_x(1+⁵/x) = -5

y = x - 5, asintoto obliquo

Derivate

DEO. g(x) = ^x2-16/_x+5

g'(x) = ^{2x2+10x-x2+16}/_(x+5)² = ^x2+10x+16/_(x+5)²

x²+10x+16 > 0

(x+8)(x+2) > 0

x < -8 oppure x > -2

M(-8, -16)

m(-2, ¹²/₃)

GRAFICO

Esercizio 9

9) f(x)=x³·(ln x - 1)

Dom x>0, (0, +∞)

f_|x| = - x³·(ln(-x)-1) né pari né olpari

Y=0

x³·(ln x - 1) = 0

x=0

ln x=1

x=e

(0,0) (e,0)

f(x)>0

x³·(ln x - 1)>0

x>0

ln x>1

x>e

x<e V x>e

lim x→0⁺ x³·(ln x -1)

x=e^-t

x→0⁺

t→ω

lim t→+∞ e^-3t ln e^-t = -t e^-3t = - t¹/_e^3t =0

lim x→+∞ x³ ln x -1 = ∞

lim x→+∞ x³ ln x -1 = ∞

f'(x) = 3x²(ln x - 1) + x²

x²(3 ln x - 3 + 1) > 0

ln x > 2/3

x > e^2/3

x > 3^√(e2)

m(3^√(e2), -1/3(2^e))

f''(x) = 6x (ln x - 1) + 3x + 2x = 6 x (ln x - 1) + 5x

x (6 ln x - 6 + 5) > 0

6 ln x > 1

x > e^1/6

x > 6^√e

F(6^√e, -5/6 √e)

Esercizio 17

g(x) = 1 - √(x/x+1)

Dom x/(x+1) ≥ 0

x ≥ -1

x ≠ -1 V x ≥ 0

(-∞, -1) ∪ (0, +∞)

g(-x) = 1 - √(-x/-x+1)

Non fare né dispari

x = 0

y = 1

y = 0

1 - √(x/x+1) = 0

x/(x+1) = 1

x-1/(x+1) = 0

(0, 1)

1 - √(x/x+1) ≥ 0

1 ≥ x/x+1

1 ≥ √(x/x+1)

x ≥ -1

Includere dominio, x ≥ 0

lim_x→-1⁻ 1 - √(x/x+1) = -∞

lim_x→-1⁺ 1 + √(x/x+1) = ∞

lim_x→+∞ 1 - √(x/x+1) = 0

Y = 0, asint. orizz.

No obliqui

Derivate

g(x) = 1 - ^√x⁄_x+1 = 1 - (^x⁄_x+1)^½

g'(x) = -¹⁄₂ (^x⁄_x+1)^-½ · ^(x+1)-x⁄_(x+1)² = -^√x+1⁄_2√x · ¹⁄_(x+1)²

g'(x) > 0 mai sempre negativo

x ≠ 0

lim x→0⁺ = -∞

Funzione esponenziale

g(x) = e^₁/x2

Dom x≠0, (-∞,0) ∪ (0,+∞)

g(-x) = e^1/x2

γ = 0

e^1/x2 = 0

e^1/x2 > 0, ∀ x ∈ ℚ

lim_x→0⁺ e^1/x2 = +∞

lim_x→0^- e^1/x2 = +∞

x=0, asintoto verticale

lim_x→+∞ e^(-1)/x2 = lim_x→+∞ e^(1/x2) = 1

lim_x→-∞ e^1/x2 = lim_x→-∞ e^(1/x2) = 1, asintoto orizzontale

Derivata

g'(x) = e^1/x2 · ((-x²-2x+2x²)/x_a) = e^1/x2 · ((x²-2x)/x_u) = e^1/x2 · (- (x-2)/x³)

x<0, ∀ x>2

x^-2/x³ > 0, x≥2/x≥0

m(2,1/^ℍ)