Strutture geometriche - Esercitazione

(Febbraio 09)

Insiemi ordinati e relazioni

Si considerino i seguenti sottoinsiemi dell'insieme S = {A, B, C, D}: a₁ = {A}, a₂ = {A, B}, a₃ = {A, C}, a₄ = {B}, a₅ = {A, B, C}, a₆ = {A, B, C, D}.

Nell'insieme X = {a₁, a₂, ..., a₆} si consideri la relazione definita come segue: a_h ≤ a_k ⇔ a_h ⊆ a_k.

A) Provare che (X, ≤) è un insieme ordinato, tracciare il diagramma di Hasse e dire se è un reticolo.

B) Provare che la relazione α∘α⁻¹ è simmetrica.

Gruppi di coppie ordinate

Si consideri nell'insieme G delle coppie ordinate di elementi di Z₃ l'operazione così definita: ([x₁][x₂] + [y₁][y₂]) = ([x₁ + y₁][x₂ + y₂]).

A) Provare che (G, +) è un gruppo.

B) Dire se (G, +) è un gruppo ciclico.

C) Esibire esempi di sottogruppi, non banali, di (G, +) con i rispettivi laterali distinti.

Gruppi ciclici finiti

Provare che se (G, ∙) è un gruppo ciclico finito generato da g e h è il più piccolo tra gli interi x tali che g^x = e, allora l'ordine di G è h.

Anelli e divisori dello zero

Provare che l'anello (Z_n, +, ∙) è privo di divisori dello zero se e solo se n è un numero primo.

Alberi e grafi

Provare che un albero non singolare finito possiede almeno due vertici di grado 1.

Provare che un grafo associato ad una relazione d'ordine non contiene circuiti di lunghezza maggiore di uno.