Strutture geometriche e algebriche - esercizi

Cognome e nome …………….. Matricola …………………….. (Giugno 08)

{ } = S

A, B, C

Si considerino i seguenti sottoinsiemi dell’insieme:

• { } = ∅
• { } = a
• { } = A
• { } = B
• { } = A, B
• { } = A, C
• { } = A, B, C

{ } = X a₁, a₂, ..., a₆

Nell’insieme si consideri la relazione d’ordine definita come segue: a_h ≤ a_k ⇔ h ≤ k (X, ≤).

Tracciare il diagramma di Hasse. Dire se è un reticolo e, in caso affermativo, rappresentare le tabelle delle operazioni ∧ e ∨.

Insieme delle classi di resto modulo 8

Sia Z₈ l’insieme delle classi di resto modulo 8 e Z₈^* l’insieme formato dagli elementi di Z₈ invertibili rispetto al prodotto. Provare che la struttura (Z₈^*, ·) è un gruppo abeliano. Dire se è ciclico e indicare i suoi sottogruppi.

• Definire il ricoprimento associato una relazione di compatibilità e provare che l’applicazione che ad ogni relazione di compatibilità associa il ricoprimento completo associato è iniettiva.
• Provare che un albero non singolare finito possiede almeno due vertici di grado 1.
• Provare che un gruppo finito avente per ordine un numero primo è un gruppo ciclico.
• Provare che un grafo associato ad una relazione d’ordine non contiene circuiti di lunghezza maggiore di uno.