Strutture geometriche e algebriche - Esercitazione

Cognome e nome ................ Matricola ....................... (Giugno 10)

1. Dire quali delle seguenti operazioni, nell’insieme Z₆, inducono una struttura di gruppo:

   • [x]₆ ⊂ [y]₆ = [x + y + 3]₆; Sì
   • [x] ⋂ [y]₆ = [2x + y]₆; Sì
   • [x] ⚹ [y]₆ = [2x + 2y]₆; Sì

Nei casi affermativi, studiare il gruppo determinandone i sottogruppi e, se esiste, un isomorfismo con il gruppo (Z₆, ⊂). Sì

2. Sia X₄₂ l’insieme degli interi positivi divisori di 42. Provare che l’insieme X₄₂ rispetto alla relazione di divisibilità è un reticolo. Determinare il diagramma di Hasse e l’elemento (2 ∨ 7) ∧ 21.

Provare che il ricoprimento completo associato ad una relazione di equivalenza è una partizione. Sì

Provare che se un grafo connesso possiede n vertici allora deve possedere almeno n-1 lati. Sì

Definire l’ordine di un elemento di un gruppo e provare che l’ordine h di un elemento a di un gruppo G, di ordine finito n, divide n. Sì

Provare che se un insieme ordinato finito (S, ≤) è privo di massimo, allora esistono almeno due elementi massimali. Sì