Cognome e nome matricola
..... (Luglio/07)
1. Relazione binaria nell’insieme S
Nell’insieme S = {1,2,3,.6,8,12} si consideri la seguente relazione binaria: h γ k ⟺ h divide k.
Provare che γ è una relazione d’ordine. Determinare gli elementi massimali e minimali ed il diagramma di Hasse associato alla relazione.
2. Grafo associato alla relazione γ
Detto G il grafo semplice, non orientato, associato alla relazione γ, determinare, se esistono, un ciclo euleriano e un ciclo hamiltoniano di G.
3. Gruppo delle terne ordinate
Si consideri il gruppo (G,+), dove G è l’insieme delle terne ordinate di elementi di Z_2 e l’operazione è così definita:
([x_1],[x_2],[x_3]) + ([y_1],[y_2],[y_3]) = [x_1 + y_1],[x_2 + y_2],[x_3 + y_3]).
a) Determinata la cardinalità n di G, dire, per ogni divisore h di n, se esistono sottogruppi di ordine h di G, mostrando qualche esempio nei casi affermativi.
b) Determinare l’ordine di ciascun elemento di G.
Relazione di compatibilità
Provare che se γ è una relazione di compatibilità su un insieme A, allora ogni elemento di A appartiene ad un insieme compatibile massimale.
Gruppo finito
Dimostrare se (G,◦) è un gruppo finito di ordine n ed a un elemento di G, allora l’ordine di a divide n ed inoltre a^n = e.
Grafo connesso
Provare che un grafo connesso con n vertici possiede almeno n-1 lati.
Reticolo
Definizione di reticolo.
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