Strutture geometriche - Prova d'esame Giugno 2007

Cognome e nome …………….. Matricola …………………….. (giugno/07)

1. Relazioni binarie

Si considerino la seguente relazioni binaria nell’insieme S { A, B, C, D, E} = 1 1 1 1 1⎛ ⎞⎜ ⎟0 1 0 1 1⎜ ⎟⎜ ⎟M 0 0 1 1 1 = α ⎜ ⎟0 0 0 1 1⎜ ⎟⎜ ⎟0 0 0 0 1⎝ ⎠

a) Provare che essa è una relazione d’ordine e tracciarne il diagramma di Hasse. Stabilire se la struttura è un reticolo e, nel caso, si rappresentino le ( S, )≤ operazioni di e mediante tabelle ∨ ∧

b) Provare che la relazione è di compatibilità e determinarne il ricoprimento completo associato. 1−αα

2. Operazione sull’insieme S

Sia data la seguente operazione sull’insieme S A B C D EA D E A B C B E A B C D C A B C D E D B C D E A E C D E A B

Provare che è un gruppo ciclico e determinarne i generatori. ( S, )

3. Congruenze

Trovare il più piccolo intero per cui risulta (mod 5); (mod 4); (mod 3). [R = 57] x 2 x 1 x 3 ≡ ≡ ≡

Definizione di albero

• Provare che un grafo è un albero se e solo se esiste un’unica catena che collega ciascuna coppia di vertici.
• Provare che se S è un insieme finito parzialmente ordinato allora esiste il massimo se e solo se esiste il sup( a, b ) a, b S ∀ ∈
• Dimostrare che ciascun gruppo ciclico di ordine n è isomorfo a Zn.