Sistema ruota uomo

Sistema ruota-uomo

Conservazione del momento angolare

Sistema ruota-uomo

Conservazione del momento angolare

Una ruota di bicicletta, il cui mozzo e i cui raggi hanno massa trascurabile, ha un cerchione di raggio 35 cm e peso 5 kg; essa può ruotare sull'asse con attrito trascurabile. Un uomo solidale con una piattaforma libera di ruotare senza attrito tiene la ruota con l'asse disposto verticalmente sopra la sua testa e, quando la piattaforma è ferma, la ruota gira in senso orario, vista dall'alto, con velocità angolare 60 rad/sec.

Il momento di inerzia del sistema ruota-uomo di rotazione è 2 kg m².

a) Se l'uomo ferma improvvisamente con la mano la ruota (rispetto alla piattaforma) si determini la velocità angolare risultante (in modulo, direzione e verso) della piattaforma.

b) Si ripeta l'esperimento inserendo sull'asse della ruota delle fonti d'attrito: questa, partendo con la stessa velocità iniziale angolare di 60 rad/sec, si ferma gradualmente (rispetto alla piattaforma) mentre l'uomo la tiene nella posizione sopra descritta (la piattaforma è sempre libera di ruotare senza attrito). Descrivere il comportamento del sistema dando il maggior numero possibile di informazioni quantitative.

a) Sappiamo che T = dL/dt dove T è il momento delle forze esterne applicate al sistema rispetto ad un punto fisso O e anche rispetto all'asse intorno a cui si ha rotazione, se questo passa per O. L'asse intorno a cui il sistema ruota è baricentrico e normale al piano di appoggio del sistema. Le forze esterne di tipo gravitazionale, giacendo su tale asse, hanno momento nullo rispetto a tale asse.

Si ha: dL/dt = 0 => L = cost ed essendo L = Iw si ha I₁w₁ = I₂w₂ dove I₁ è il momento d'inerzia iniziale e I₂ quello finale, w₁ è la velocità angolare iniziale della ruota ed w₂ la velocità angolare finale del sistema piattaforma-uomo-ruota.

w₁ ed w₂ hanno stessa direzione e verso. Poiché la ruota inizialmente gira in senso orario, dalla regola della mano destra, si ha che w₁ e w₂ hanno la direzione dell'asse comune del sistema, e sono diretti verso il basso.

Si ha passando agli scalari: I₁w₁ = I₂w₂ da cui w₂ = I₁w₁/I₂