Disco e ruota piano inclinato

Disco e ruota su piano inclinato

Su un piano inclinato di un angolo alpha = 30° sono presenti un disco omogeneo di raggio R = 0.3 m e massa M = 0.8 kg e una ruota (di spessore trascurabile) di raggio r = 0.2 cm e massa m = 0.5 kg. Nell'istante iniziale, prima che i due oggetti comincino a scendere lungo il piano inclinato con un moto di puro rotolamento, il disco precede la ruota (è in posizione più elevata), lungo il piano inclinato, di una distanza d = 1 m. Si calcoli il modulo della velocità del disco, detta v_D, e quello della ruota, detta v_R, nell'istante in cui il disco raggiunge la ruota (quando i loro centri sono allineati). Dopo quanto tempo t dall'inizio questo accade?

Equazioni del moto di rotolamento

Il moto del disco (e della ruota) è di puro rotolamento per cui esiste una forza F_D che agisce nel punto di appoggio tra il disco e il piano inclinato, opposto al verso del moto. Con riferimento al centro di massa del disco, l'equazione del moto di rotazione, lungo l'asse di rotazione, si scrive come:

_dLD/_dt = I_{D dωD}/_dt = |R × F_D| = R_FD

dove L_D è il momento angolare del disco, I_D il suo momento d’inerzia, ω_D la sua velocità angolare e si è usato il fatto che la forza F_D responsabile della rotazione è tangente al disco. In modo simile, essendo il disco sottoposto alla componente P_D sin α = Mg sin α della forza peso P_D, scriviamo l’equazione del moto di traslazione del centro di massa (e di tutto il corpo rigido):

M a_D = Mg sin α - F_D

con a_D la sua accelerazione lungo l’asse parallelo al piano inclinato. Dalle equazioni precedenti ricaviamo F_D che vale:

F_D = _{ID dωD}/_{R dt} = _ID/_R² a_D

con a_D accelerazione lungo l’asse parallelo al piano, infatti per un moto di puro rotolamento si ha la relazione:

_dωD/_dt = ₁/_{R dvD}/_dt = _aD/_R

Calcolo delle accelerazioni

Sostituendo F_D nelle equazioni precedenti si ottiene:

M_AD = Mg sin α - _IDaD/^R2

da cui:

a_Da_D = _{Mg sin α}/^{M + _ID/R2}

ovvero:

a_D = _{MR²g sin α}/^{MR2 + I_D}

Analogo discorso per la ruota che però avrà cambiati i pedici in modo opportuno e le varie grandezze fisiche. Si ottiene anche per la ruota l'accelerazione lungo l'asse parallelo al piano inclinato:

a_R = _{mr²g sin α}/^{mr2 + I_R}

Il momento di inerzia di una ruota di spessore trascurabile (cerchio vuoto all'interno) è proprio I_R = mr², mentre il momento d'inerzia del disco, I_D, rispetto al suo asse di rotazione si può calcolare dall'integrale:

I_D = ∫_S ρr² dS

dove S è la superficie del disco, r la distanza di un punto del disco dal suo centro e ρ la sua densità di massa che è costante per ipotesi. Utilizzando le coordinate polari piane:

1. x = r cos α
2. y = r sin α

per cui:

dS = dxdy = ∂x∂y∂r∂r∂x∂y∂α∂α drdα = r drdα

l’integrale diventa:

I_D = ρ ∫₀^2π dα ∫₀^R dr r³ = 2πρ R⁴/4

da cui, usando il fatto che la densità coincide con la densità media e che dunque:

ρ = M/S = M/πR²

dove M è la massa totale del disco, si ottiene il momento d’inerzia del disco di raggio R:

I_D = \(\frac{1}{2}\pi \rho R^4 = \frac{1}{2}MR^2\)

Usando questo risultato e il fatto che I_R = mr² le due equazioni precedenti diventano:

a_D = \(\frac{2MR^2g \sin \alpha}{3MR^2} = \frac{2}{3}g \sin \alpha\)

a_R = \(\frac{mr^2g \sin \alpha}{2mr^2} = \frac{1}{2}g \sin \alpha\)

e si tratta di moti uniformemente accelerati. Osserviamo inoltre, come atteso, che il disco ha un’accelerazione maggiore della ruota. Se la ruota e il disco partono da fermi ad una distanza d l’una dall’altra, con il disco dietro la ruota (più in alto), allora le loro posizioni lungo il piano inclinato, al tempo t misurato da quando i due corpi sono liberi di muoversi, sono:

x_D = \(\frac{1}{2}a_Dt^2 = \frac{1}{3}g \sin \alpha t^2\)

e

x_R = d + ¹/₂ a_Rt² = d + ¹/₄ g sin α t²

Uguagliando la loro posizione si ottiene il tempo in cui essi si incontrano (cioè sono allineati i loro centri). Si ha, ponendo x_R = x_D,

¹/₃ g sin α t² = d + ¹/₄ g sin α t²

da cui

¹/₁₂ g sin α t² = d

t = √(^12d/_{g sin α})

Calcolo delle velocità

Le velocità dei due corpi, in questo istante t calcolato in cui si incontrano, sono date da:

v_D = a_Dt = ²/₃ g sin α √(^12d/_{g sin α})

v_R = a_Rt = ¹/₂ g sin α √(^12d/_{g sin α})

ovvero, semplificando,