Sfera rotola piano inclinato di 30

Sfera rotola piano inclinato di 30°

Dinamica dei moti rotatori

Sfera rotola piano inclinato di 30°

Dinamica dei moti rotatori

Una sfera rotola su per un piano inclinato di 30°. Al fondo del piano il centro di massa della sfera ha una velocità di 5,0 m/sec.

• A) Quanto cammino fa sul piano inclinato?
• B) Quanto tempo impiega a ritornare in fondo?

Applichiamo il principio di conservazione dell'energia. Si ha K₀ + U₀ = K + U.

Condizioni iniziali ad un istante generico

Se inizialmente il corpo si trova alla base del piano inclinato ha energia potenziale che possiamo porre arbitrariamente nulla. Poiché sulla sfera agisce la sola forza gravitazionale, come forza conservativa, si ha quando la sfera ha percorso una distanza l: U = mg l senθ.

D'altra parte K₀ = 1/2 mv₀² + 1/2 Iω₀² dove I è il momento di inerzia della sfera rispetto a un suo diametro e ω₀ = v₀/R è la sua velocità angolare iniziale.

Si ha K₀ = 1/2 mv₀² + 2mR²v₀²/(2.5.R²) = 7/10 mv₀² dove v₀ è la velocità iniziale del centro di massa.

Se, quando la sfera ha percorso una distanza l sul piano inclinato, si ferma, si ha K = 0 cioè: 7/10 mv₀² = mg l senθ per cui l = 7v₀²/(10g senθ) = 7.52/(10.9,8.0,5) = 3,57 m.

L'accelerazione a, necessaria per portare la velocità lineare da v₀ alla quiete, è tale che -v₀ = at, a = -v₀/t mentre la sfera percorre uno spazio l = v₀t + 1/2 at² => l = v₀t/2 e quindi il tempo t necessario alla sfera per salire è: t = 2l/v₀ = 2.3,57/5 = 1,43 sec.

Per cui il tempo t* che la sfera impiega a tornare in fondo è per simmetria t* = 2t = 2,86 sec.