Sfera rotola piano inclinato di 30

Sfera rotola piano inclinato di 30°

Dinamic dei moti rotatori

Sfera rotola piano inclinato di 30°

Dinamica dei moti rotatori

Una sfera rotola su per un piano inclinato di 30°. Al fondo del piano il centro

di massa della sfera ha una velocità di 5,0 _m/_sec.

a) Quanto cammino fa sul piano inclinato ?

b) Quanto tempo impiega a ritornare in fondo?

Applichiamo il principio di conservazione

dell'energia. Si ha _K0+_U0 = _K+_U

_{condizioni condizioni}

_{iniziali ad un istante}

_generico

Se inizialmente il corpo si trova alla base del piano inclinato ha energia potenziale che possiamo porre arbitrariamente nulla. Poiché sulla sfera agisce la sola forza gravitazionale, come forza conservativa, si ha quando la sfera ha percorso una distanza l: U = mg l senθ. D'altra parte k₀ = ¹/₂ mv₀² + ¹/₂ I ω₀² dove I è il momento di inerzia della sfera rispetto a un suo diametro e ω₀ = ^v₀/_R è la sua velocità angolare iniziale. Si ha k₀ = ¹/₂ mv₀² + ^{2mR2 v₀2}/_{2.5 · R²} = ⁷/₁₀ mv₀² dove v₀ è la velocità iniziale del cento di massa. Se quando la sfera ha percorso una distanza l sul piano inclinato, si ferma, si ha k = 0 cioè: ⁷/₁₀ mv₀² = mgl senθ per cui l = ^7.v₀2/_{10 · senθ} = ^4.52/_10.9.8.0.5 = 3.57 m. L'accelerazione a, necessaria per portare la velocità lineare da v₀ alla quiete, è tale che -v₀ = at cioè a = ^-v₀/_t mentre la sfera percorre uno spazio l = v₀t + ¹/₂ a t² ⇒ l = ^v₀t/₂ e quindi il tempo t necessario alla sfera per salire è: t = ^2l/_v0 = ^2.357/₅ = 1.43 sec. Per cui il tempo t* che la sfera impiega a tornare in fondo è per simmetria t* = 2t = 2.86 sec.