La sfera sospesa

La sfera sospesa statica

Una sfera di massa M = 1 Kg e raggio R è appesa con un filo leggero ed inestensibile ad una parete verticale. Tra essa e la parete è interposta un’altra sfera di massa m = 0,2 Kg e raggio R/2 (Figura 8.3). Tutte le superfici di contatto sono scabre ed il filo è inclinato di θ = 30° rispetto alla parete. Quale dovrebbe essere il minimo coefficiente di attrito statico μ tra la parete e la sfera più piccola affinché essa non cada per effetto del suo peso? Quale la tensione T del filo nella condizione di equilibrio?

(Figura 8.3)

Per prima cosa esaminiamo le forze che agiscono nel punto di contatto tra le due sfere ed osserviamo che esse sono tutte forze interne (forze di coppia) e quindi ininfluenti sulle equazioni generali di equilibrio del sistema. Infatti, indicata con N₂ la forza normale che la sfera piccola esercita su quella grande e con N₁ quella che la sfera grande esercita sulla piccola, per il terzo principio della dinamica deve essere:

N₂ + N₁ = 0

Anche le forze di attrito che agiscono verticalmente nel punto di tangenza delle due sfere sono forze di coppia. Per maggior chiarezza possiamo dire che, verso l’alto, agisce la forza + f' la quale rappresenta l'attrito “sentito” dalla sfera piccola per la presenza della grande, mentre, verso il basso, agisce la forza –f' che esprime l'attrito “sentito” dalla sfera grande ad opera della piccola. Dunque anche la somma di queste forze è nulla.

Dopo questa premessa, indicata con N la forza normale che la parete esercita sulle sfere, detta f la forza di attrito statico tra parete e sfera piccola e scomposto il vettore T nelle sue componenti rispettivamente orizzontale e verticale T_x e T_y, possiamo esprimere in forma scalare le condizioni di equilibrio, con la solita convenzione sui segni, nel modo seguente:

T_y + f – m g – M g = 0
N – T_x = 0

Ed essendo ovviamente T_x = T senθ e T_y = T cosθ, scriveremo in modo più preciso:

T cosθ + f – m g – M g = 0 (1)
N – T senθ = 0 (2)

Applichiamo ora al sistema l'equazione di equilibrio dei momenti, scegliendo come polo di riferimento il centro della sfera maggiore. In tal modo risultano identicamente nulli i momenti delle forze M g, T ed anche N (si osservi che, nel caso della forza N, il momento è nullo perché essa ha la stessa direzione e verso opposto del vettore di posizione r). Restano così da calcolare il momento della forza di attrito M_f e quello del peso della sfera piccola M_m.

Dopo aver osservato che entrambe queste forze sono perpendicolari al vettore di posizione r, si deduce che il braccio di M_f è 2R mentre quello di M_m è (3/2)R (Figura 8.3) ed inoltre i due momenti sono di segno opposto. Dunque è valida l'equazione scalare:

3/2 R m g – 2 R f = 0 (3)

Le equazioni (1), (2) e (3) esprimono quindi l'equilibrio del sistema e ad esse aggiungiamo quella che definisce la forza di attrito statico vale a dire:

f ≤ μ N (4)

Dalla (3) deduciamo subito:

f = 3/4 m g (5)

Sostituendo il valore di f nella (1) e riscrivendo la (2) in modo diverso, si ottiene: