Palla nell'ascensore

Palla rimbalza sul tetto dell’ascensore

Urto

• Un ascensore si muove verso l'alto alla velocità di 2,0 m/sec. Ad un certo istante l'ascensore si trova a 20 m dalla cima, quando una palla è lasciata cadere dall'alto della tromba delle scale. La palla rimbalza elasticamente sul tetto dell'ascensore. A quale altezza può risalire rispetto alla sommità della tromba?
• Risolvere lo stesso problema con l'ascensore che scende alla velocità di 2,0 m/sec.

Soluzione con l’ascensore che sale

Quando la palla è lasciata cadere, l'ascensore si trova a distanza l dalla cima. Quando l'ascensore ha percorso una distanza d, la palla, che ha percorso uno spazio l-d, rimbalza elasticamente sul tetto dell'ascensore.

Si determina d, tenendo conto che il tempo necessario all'ascensore, che si muove con velocità v₁, per percorrere d è lo stesso necessario alla palla, che si muove però di moto uniformemente accelerato.

Si ha: t = d/v₁ e l-d = 1/2 gt², per cui l-d = 1/2 g d²/v₁² da cui si ricava d = 3,65 m.

In un urto elastico si conserva la quantità di moto e l'energia cinetica.

Si ha: m₁v₁ + m₂v₂ = m₁W₁ + m₂W₂

1/2 m₁v₁² + 1/2 m₂v₂² = 1/2 m₁W₁² + 1/2 m₂W₂²

Dove v₁ è la velocità dell'ascensore di massa m₁ prima dell'urto e W₁ subito dopo l'urto, e dove v₂ è la velocità della palla di massa m₂ subito prima dell'urto e W₂ subito dopo l'urto.

Si ha (v₁ - W₁) = m₂/m₁ (W₂ - v₂) sistema che si ricava dividendo membro a membro la (v₁² - W₁²) = m₂/m₁ (W₂² - v₂²) seconda relazione per la prima {v₁-W₁ = m₂/m₁ (W₂-v₂).

Se m₁>m₂, come è per l'ascensore nei confronti della palla, si ha dalla prima relazione v₁ = W₁ in quanto m₂/m₁ ↔ 0.

Ne deriva dalla seconda relazione che W₂+v₂ = 2v₁, cioè la velocità della palla dopo l'urto è: W₂ = 2v₁ - v₂.

v₂ è la velocità della palla prima dell'urto e vale v₂ = √2g(l-d)= 17,9 m/sec.

Dopo l'urto la palla ha velocità W₂ e risale fino a un'altezza h rispetto al punto in cui è rimbalzata.

Tale quantità è data dal principio di conservazione dell'energia meccanica 1/2 m₂ W₂² = m₂gh da cui h = W₂²/2g ed essendo W₂ = 2v₁ - v₂ = 2 · 2 + 17,9 = 24,9.

Notare che v₁ è diretto verso il basso e pertanto la sua componente seconda direzione di v₁ è negativa.

Si ha così h = (24,9)²/2 · 9,8 = 24,4 m.

La palla risale dunque ad altezza y rispetto alla sommità data da: y = h - (l-d) = h - l + d = 24,4 - 20 + 3,65 cioè y = 8,05 m.

Soluzione con l’ascensore che scende

Il problema nel caso che l'ascensore scenda si risolve analogamente mentre a quanto fatto per l'ascensore che sale.

Solamente ora mentre l'ascensore percorre la distanza d, prima che la palla rimbalzi sul suo tetto, la palla percorre una distanza l+d.

Si ha cioè l+d = d²/2g = d²/2g da cui si ricava: