Palla nell'ascensore

Palla rimbalza sul tetto dell’ascensore

Urto

Palla rimbalza sul tetto dell’ascensore

Urto

a) Un ascensore si muove verso l’alto alla velocità di 2,0 m/sec. Ad un certo istan-te l’ascensore si trova a 20 m dalla cima, quando una palla è lasciata cadere dall’alto della tromba delle scale. La palla rimbalza elasticamente sul tetto dell’ascensore. A quale altezza può salire rispetto alla sommità della tromba?

b) Risolvere lo stesso problema con l’ascensore che scende alla velocità di 2,0 m/sec.

a) Quando la palla è lasciata cadere, l'ascensore si trova a distanza l dalla cima. Quando l'ascensore ha percorso una distanza d, la palla, che ha percorso uno spazio l-d, rimbalza elasticamente sul tetto dell'ascensore. Si determina d, tenendo conto che il tempo t necessario all'ascensore (che si muove con velocità v₁) per percorrere d è lo stesso necessario alla palla, che si muove però di moto uniformemente accelerato. Si ha t = ^d/_v1 e d'altra parte l-d= ¹/₂g t² per cui l-d = ¹/₂ g ^d/_v1² da cui si ricava d = 3,65 m. En un urto elastico si conserva la quantità di moto e l'energia cinetica. Si ha.

| m₁v₁ + m₂v₂ = m₁W₁ + m₂W₂, dove v₁ è la velocità dell'ascensore di

| ¹/₂ m₁v₁² + ¹/₂ m₂v₂² = ¹/₂ m₁W₁² + ¹/₂ m₂ W₂² massa m₁ prima dell'urto e W₁ subito dopo l'urto, e dove v₂ è la velocità della

| ^{(v₁ - W₁) = m₂}/_m1(W₂ - v₂) sistema che si risolve dividendo membro a membro la

| ^{(v₂2 - W₂2) = m₂}/_m1(W₂² - v₂²)

seconda relazione per la prima

ha per l'ascensore nei confronti della palla, se ha dalla prima relazione v₂=W₁ in quanto m₂=0. Ne deriva dalla seconda relazione che W₂+v₂=2v₁, cioè la velocità della palla dopo l'urto è: W₂=2v₁-v₂, v₂ è la velocità della palla prima dell'urto e vale v₂=√2g(ℓ-d)=17,9 m/sec. Dopo l'urto la palla ha velocità W₂ e risale fino a un'altezza h rispetto al punto in cui è rimbalzata. Tale quantità è data dal principio di conservazione dell'energia meccanica

ed essendo W₂=2v₁-v₂=2·2+17,9=21,9. Notare che v₂ è diretto verso il basso e pertanto la sua componente secondo la direzione di v₁ è negativa. Si ha così h= ,La palla risale dunque ad altezza y rispetto alla sommità data da: y_f=h-(ℓ-d)=21,4-20,365 cioè y=0,05 m. Il problema nel caso che l'ascensore scenda si risolve analogamente a quanto fatto per l’ascensore che sale. Solamente ora mentre l'ascensore percorre la distanza d₁ prima che la palla rimbalzi sul suo tetto la palla percorre una distanza ℓ+d. Si ha cioè ℓ+d= da cui si ricava.